Compte rendu de lecture

L'irrationnel

Gilles Gaston Granger

1999   (285 pages)

Introduction

Au sens le plus courant, l'irrationnel est ce qui n'est pas conforme à la raison. Cela sous-entend un système de pensée associé à une certaine norme, dont les activités irrationnelles enfreindraient les postulats et les règles. Ce peut être une théorie scientifique avec sa norme du vrai, mais aussi un système de peinture avec une norme du beau. Avec L'irrationnel (éditions Odile Jacob, 1998), Gilles Gaston Granger s'intéresse à l'irrationalité, non pas comme état permanent et se suffisant à lui-même, mais plutôt à celle, seulement transitoire, qui a des conséquences positives, qui finit par fonder sinon une nouvelle rationalité, du moins un système chargé de sens. Il s'agit ici de « considérer le sens et le rôle de l'irrationnel dans certaines œuvres humaines [...] et tout particulièrement les œuvres de science » 10[1], plutôt que « chez les hommes [en général], prompts à découvrir et à fomenter en toute occasion le merveilleux » 272.

Philosophe ancien élève de l'école Normale Supérieure, Granger ne se dispense pas pour autant d'éprouver ses connaissances scientifiques par une licence de mathématiques, là où d'autres expliqueraient avec force effets de manches que l'étude d'un système ne nécessite pas la connaissance et la compréhension interne d'icelui. Autant dire que Granger semble aussi à l'aise avec les équations qu'avec le grec ancien, et que l'un comme l'autre sont employés à bon escient pour exemplifier le propos. D'un bout à l'autre, avec quelques erreurs typographiques, le langage est sobre, autant que précis et sans érudition excessive ; l'ensemble est à la portée d'un bachelier de bon niveau. Ce contenu riche et dense occupe 270 pages dont on trouvera ci-après une tentative de résumé, de synthèse, et de commentaire. Le résumé a pour fonction de présenter schématiquement le contenu, qui sans être forcément inédit, est loin d'être universellement connu ; d'où un texte long (résumé au 1/30 environ) ; dans la mesure où le texte de Granger est remarquablement clair et concis, il a été possible de confectionner ce résumé avec une proportion très importante de citations[2], lequel cependant n'est pas neutre et contribue déjà à mettre en perspective l'ouvrage. La synthèse aurait pour objectif de rendre compte de l'ouvrage, tous les éléments de base étant connus ; elle suit donc de très près le concept d'irrationnel. Enfin, le commentaire, souvent mélangé avec la synthèse, tente très modestement l'esquisse d'une critique. Le résumé sera placé légèrement en retrait de la marge et le superbe plan du livre sera scrupuleusement respecté et marqué ; la synthèse et le commentaire seront placés à la fin de chaque partie concernée spécifiquement, et tout à la fin pour la vue d'ensemble.

Cet ouvrage fait suite à une série de livres sur l'épistémologie, principalement celle de la science. Ayant occupé de 1986 à 1996 une chaire d'épistémologie comparative au Collège de France, et depuis, Professeur honoraire, Granger multiplie le publications dans le domaine et les rend accessibles à un plus large public. Dans son livre Pour la connaissance philosophique, (CPHI : Odile Jacob, 1988), il commence à définir ce qu'est un « concept philosophique ». En même temps, il révise son Essai d'une philosophie du style (Armand Colin, 1968 ; STY : Odile Jacob, 1988) où il généralise le concept de « style », notamment comme façon de présenter la connaissance, en choisissant un « mode de structuration » ou en l'habillant d'éléments plus ou moins redondants du strict point de vue du contenu scientifique, qui lui apportent du sens et induisent diverses métaphores. Il introduit ainsi son antinomie entre « sens » et « travail ». Après divers articles et un livre au titre transparent, La vérification (Odile Jacob, 1992), Granger rassemble divers écrits qui exemplifient dans divers domaines les notions « forme », « opération » et « objet ». Ces trois notions sont étudiées dans un article conclusif « forme, opération, objet » qui donne son nom à l'ouvrage (FOO : Vrin, 1994). La dualité objet - opération non seulement renouvelle profondément l'opposition sujet - prédicat mais elle se révèle au cours de l'ouvrage un véritable moteur épistémologique lorsque l'un devient l'autre et vice versa. En outre, ces notions permettront de décrire avec une formulation bien plus précise la frontière entre le rationnel et l'irrationnel. En neuf tableaux, L'irrationnel illuminera ces notions et illustrera dans un « style » nouveau l'importance de l'irrationnel dans l'élaboration du rationnel tout comme de l'irrationnel.

Si l'analyse dans L'irrationnel profite des derniers acquis de la pensée épistémologique de Granger, il serait tentant, puisque l'irrationnel se définit aussi comme l'opposé du rationnel, et, assez souvent, de la raison, d'y voir le pendant d'un livre que Granger avait publié en 1955 (PUF, Que-sais-je? 680), qui portait comme titre La raison. Celle-ci y était d'abord présentée dans une perspective historique, mais toujours en contraste avec une non-raison : Platon, Thomas d'Aquin, Descartes, Kant et Hegel. Chez ce dernier, la raison contribue à critiquer une thèse rationnelle (ou, du moins, admise comme telle), à susciter une antithèse qui ne l'est pas forcément, puis à formuler une synthèse qui l'est, ou du moins l'est davantage en ce qu'elle « concilie les éléments contradictoires des deux phases antérieures » (p20). Déjà se pose la question de la nature l'état transitoire et de sa démarcation. Granger voit alors deux pôles de la raison : « des lois de la pensée et de l'action réfléchie » posées plus ou moins a priori, et, « un ordre des choses qu'il soit donné, idéal ou réalisé progressivement » (p21). Avant d'aborder la raison elle-même, dans les sciences, puis dans l'histoire, Granger oppose celle-ci à « trois attitudes négatives », des « modes de pensée et d'action » : le mysticisme, le romantisme, et l'existentialisme. La « "connaissance" mystique [...] intime, directe et ineffable [...] est inexorablement individuelle, subjective » (p28). La « fabulation mythique et rituelle » opère également dans une société moderne, mais « la raison s'en distingue non pas par le contenu de connaissance [...] mais par son propre mouvement critique » (p30). Le « romantisme [...] plonge ses racines dans la vie biologique » et pose « la prédominance des valeurs vitales sur les valeurs intellectuelles » (p32). Le « surréalisme exprime une réaction explosive contre une forme falsifiée de la raison » et « il évoque donc, non pas dans son intention mais dans les faits, un appel à une raison plus efficace » (37). Ce dernier exemple, non pas d'une déraison permanente, mais plutôt d'un état transitoire utile, sera précisément repris dans L'irrationnel. Ainsi, Granger complète-t-il, quarante ans plus tard, l'un de ses tout premiers ouvrages.

Introduction de Granger

Dans une introduction courte mais dense, Granger expose ses intentions et explique le plan de l'ouvrage. En reprenant le vocabulaire de précédents écrits, une « œuvre » est la « création d'un rapport d'une matière à une forme », et est « suscitée » lors d'un « travail ». D'autre part, elle véhicule un « sens » encodé de façon plus ou moins explicite par le « créateur » et interprété plus ou moins librement par le « contemplateur ». Enfin, une œuvre combine une part de rationalité, qui cadre le travail, et d'irrationalité qui fait sortir de ce cadre. Granger distinguera trois types d'occurrence de l'irrationnel : « obstacle », « recours » et « renoncement ». Respectivement, il s'agit d'alléger minimalement et temporairement les exigences du rationnel afin de surmonter une impossibilité, d'en « violer délibérément les règles en vue d'atteindre des résultats nouveaux », de le rejeter d'emblée et plus ou moins définitivement pour « dépasser les limites de la raison humaine ». Orthogonalement, Granger envisage trois champs : épistémique, technique, axiologique. On aboutit alors au tableau de combinaisons

 

Épistémique

Technique

Axiologique

Obstacle

Paradoxes (résolus)

Difficultés (surmontées)

Doctrines pragmatiques

Recours

Concepts contradictoires

Procédures empiriques

Doctrines dogmatiques

Renoncement

Fausses sciences

Pratiques mythiques

Fanatisme mystique

toutes réalisées. Les trois types d'irrationnel définissent trois parties, qui comprennent chacune trois sous-parties qui correspondent non pas aux trois champs cités, mais à un regroupement d'exemples, les deux premières dans le domaine de la science, et la dernière dans le domaine de l'art ou de la « pseudo-philosophie ». Granger prévient à juste titre que les classes se chevauchent et qu'il ne faut pas les envisager de façon rigide.

Obstacle

Avec l'irrationnel comme obstacle, objet de la première partie, le créateur est contraint d'effectuer des opérations interdites par les règles antérieurement appliquées aux objets qu'il manipule 22. Deux exemples concernent les mathématiques, et plus précisément le nombre (les irrationnels, puis les imaginaires), et le troisième la formalisation de la perspective en dessin. D'une certaine façon, le rationnel est à chaque fois la formalisation mathématique et ses exigences de rigueur, mais rapporté à son époque, c'est-à-dire de moins en moins métaphysique et de plus en plus nominaliste. Dans La raison, Granger rappelait que chez les Grecs, le logos, « mode de pensée correcte et connaissance authentique s'oppose à la connaissance imparfaite et illusoire » (p10), et se subdivise entre « dianoia » (raison discursive : « la pensée articulée en jugements enchaînés ») et « noesis » (raison intuitive, qui « perçoit directement les essences sans qu'il soit besoin d'un processus démonstratif fragmenté »). Ces deux « formes » de la raison confinent à des formes distinctes d'irrationnel, verbigération (scolastique, notamment) pour l'une, hallucination pour l'autre. Ici, le logos, qui est aussi « rapport mathématique exact de deux grandeurs », cherche à rendre compte de l'intuition géométrique (rationnelle).

Irrationnels en Grèce

Les mathématiciens de l'Académie 22 n'ont pas une conception unifiée de la grandeur (géométrique) et du nombre, qui donnent lieu d'une part à des opérations géométriques sur les grandeurs et leurs rapports, d'autre part à des calculs proprement arithmétiques basés sur la distinction entre entiers pairs et impairs 27 dont dépend l'algorithme de multiplication égyptienne. En outre ils distinguent nombre en tant que tel, pour dénombrer, et nombre en tant que multiplicité 27[3]. Parallèlement, la pratique généralise le nombre entier, ‘arithmos’, au moyen des sommes de ‘quantièmes’, fractions au numérateur unitaire, ou avec des fractions sexagésimales. Cependant, ce ne sont aucunement des rapports d'entiers quelconques, qui apparaissent en revanche dans la « théorie des médiétés » qui définit géométriquement les moyennes arithmétique, harmonique et géométrique29 [4]. Mais c'est surtout avec les gammes musicales [5], que « le concept de rapport prend toute son autonomie » 31 car la multiplication des rapports d'intervalles conduit à les représenter comme couples d'entiers. Ces ‘logoi’, de deux nombres, mais aussi plus généralement de deux grandeurs, sont comparés au moyen de la proportionnalité 32 ou bien par l'algorithme d'Euclide 33 qui s'applique lui à la fois aux entiers et aux grandeurs et met en outre en évidence l'incommensurabilité[6]. D'autre part, « les pythagoriciens savaient prouver (par la parité) que cette représentation d'un ‘logos’ de deux grandeurs [comme logos d'entiers] n'est pas toujours possible » 31, 35 (le logos de la diagonale et du côté du carré par exemple) puis apprennent à en déterminer des approximations comme suites indéfinies de logoi d'entiers par l'algorithme d'Euclide ou les encadrements de médiétés[7], mais ces logoi, même d'entiers (donc rationnels), ne sont jamais « thématisés » 31, 42, 45, 78 comme nombres en tant que tels (donc nos fractions), même si dans la pratique on tend, irrationnellement, à les confondre 45... Euclide définit (géométriquement) le carré d'un logos et entreprend de classifier les logoi irrationnels 46, « ébauchant une algèbre des irrationnelles » 48. Cependant, « les rapports de grandeurs sont associés de façon générale à des rapports de nombres » 24, 44, mais les logoi, quoiqu'ils acquièrent un « statut axiomatiquement défini », ne sont encore que des « entités opératoires [sur des grandeurs] » 40, qui « prolongent la notion primitive d'entiers comme multiplicateurs » 48, mais non des « objets véritables sur lesquels porteraient les mêmes opérations » 45, 48[8]. Ce n'est que bien après qu'a lieu enfin « l'assimilation des grandeurs à des nombres, d'abord explicitement aux entiers qui éventuellement les mesurent, puis à des espèces nouvelles de nombres qui seront identifiés aux logoi, rationnels ou irrationnels » 42.

Cette histoire des irrationnels montre trois oppositions conceptuelles. La première, entre discontinu et continu, sépare l'arithmétique de la géométrie, objets du dénombrement contre objets de la mesure. Il faudra attendre le XIXème siècle avec la construction de l'ensemble des réels à partir des rationnels, eux-mêmes à partir des entiers pour que le problème soit définitivement résolu. La deuxième, voisine, distingue mesure et nombre sans dimension, ou, ici, longueur et rapport de longueur. les similitudes opératoires sont sans doute utilisées, mais de façon inavouable, car ces objets relèvent de deux catégories différentes. La troisième réside dans l'opposition entre objet et opérateur, a priori confuse puisque le triple de deux est égal au double de trois, et c'est peut-être la phobie de la confusion qui rend les Grecs aussi crispé sur la distinction. En effet, dès lors qu'on dispose d'une opération (à deux variables), fixer l'une des variables permet de construire une correspondance naturelle[9] entre objets et opérateurs d'une certaine classe. L'arithmétique grecque a de tout cela une perception très partielle et des catégories inadéquates qu'elle doit transgresser plus ou moins explicitement. Le concept de nombre ne sera étendu que bien après, en éliminant l'aspect opérateur, lequel ne sera recouvré que beaucoup plus tard lorsqu'on comprendra que les nombres forment à la fois un groupe (d'objets) et un groupe (d'opérateurs) opérant sur un ensemble : un élément peut jouer divers rôles selon la structure choisie.

Imaginaires

Autre moment fort de l'histoire du nombre, les nombres imaginaires, « impossibles », s'imposent dans le calcul des racines de l'équation du troisième degré. En effet, lorsqu'il y a trois racines (réelles), les formules (dites) de Cardan (vers 1500) font intervenir des racines carrées de nombres négatifs ; on observe alors que cette formule déduite par raisonnement fournit effectivement les racines à condition de calculer sur des expressions contenant des racines carrées de nombres négatifs 53 ; « progressivement, des règles spécifiques de manipulation sont implicitement ou explicitement introduites[10], et des tentatives d'interprétation se succèdent » 46. Le rapprochement avec l'équation de la trisection de l'angle donne la clef de l'interprétation géométrique (De Moivre, 1739, qui commence à les envisager « comme [constituant] une classe nouvelle de nombres » 54) puis de la forme exponentielle[11] (Euler55, 1748). D'autre part, des calculs amènent des logarithmes de nombres négatifs puis imaginaires, qui disparaissent à la fin 59 (Bernoulli), tandis que les logarithmes de nombres négatifs restent paradoxaux 57 (Leibniz). Finalement, Euler définit le logarithme multiforme et rend cohérent l'ensemble 62. Cependant, ces imaginaires ne sont encore conçus que comme des auxiliaires ou des valeurs fictives qui doivent s'éliminer au terme du calcul. Wallis (1673) remarquant que les nombres négatifs avaient pu être interprétés en distinguant deux sens sur la droite, découvre une interprétation géométrique qui définit des racines carrées cohérentes avec les relations du triangle 64. Ce n'est qu'en 1829 que Warren pose les imaginaires comme « représentant à la fois la direction et la longueur d'un [vecteur] » 68 et y voit « une nouvelle algèbre » 70, ce qu'avaient compris solitairement Wessel dès 1798, Gauss en 1799 (dit-il), et Argand en 1806. Gauss « expose dans toute sa profondeur le sens et la portée de cette représentation » 73 dans sa Théorie des résidus biquadratiques (1831), et, amorçant l'analyse complexe de Cauchy, met en perspective nombres négatifs, irrationnels, imaginaires, et généralise la notion de nombre[12] : comprenant la « généralité du processus », il entrevoit la possibilité de nombres à plus de deux dimensions 73 , et ouvre la voie à Hamilton[13]. Ainsi, Gauss « rassemble explicitement en une même pensée deux formes de rationalisation déjà latentes : la rationalisation par représentation intuitive dans une espace et la rationalisation abstraite par formulation de règles de composition algébriques » 75.

Cette fois, le concept de nombre est mieux établi et l'on dispose enfin de la commode notation décimale pour les exprimer, mais le nombre négatif suscite encore des réticences[14] ; l'écriture algébrique fait son apparition, plus concise et plus universelle. Ici, l'objet final est bien « rationnel », mais son obtention passe par « l'irrationnel », situation bien connue des physiciens ; le problème ontologique est subordonné à un problème éthique. Le présupposé est ici que la chaîne d'opérations devrait à chaque instant référer à un nombre : celui-ci, d'abord purement imaginaire, acquiert peu à peu une consistance géométrique satisfaisante pour l'intuition. Or, c'est un paradoxe qui ne sera jamais qu'imparfaitement résolu pour les irrationnels puisque ceux-ci sont représentés par des expressions qui peuvent être extrêmement complexes : si les rationnels sont clos pour les opérations, qui fournissent toujours une fraction irréductible, les réels ne le sont que virtuellement, au point que déterminer l'égalité de deux réels peut être un problème très difficile. D'ailleurs, la question de déterminer si un nombre est rationnel, algébrique ou transcendant fournit une mine inépuisable de problèmes non résolus. Ainsi, la notion de nombre semblera de plus en plus arbitraire et non pertinente[15]. Un point important est dégagé, la dualité objet - opérateur 76, mais bien sûr, relativement à une opération binaire : ainsi, à un nombre complexe, l'addition fait correspondre une translation tandis que la multiplication, une similitude[16]. L'enrichissement considérable des notions amène à considérer des ensembles « munis » d'une structure, objectivant ainsi définitivement les opérations : d'une certaine façon, on élimine une composante intentionnelle implicite pour la placer comme élément extensionnel dans la structure. Là encore, cela contribue à l'édifice rationnel.

Perspective

A côté de ces impossibilités opératoires, il y a des impossibilités initiales, « nouvelle espèce d'obstacle irrationnel » 79. Tel est le cas de « la représentation sur une surface, illusoire ou authentique, du réel perçu dans l'espace » 80, c'est-à-dire comme le formule Platon, « d'imiter le réel tel qu'il est, ou bien d'imiter l'apparent tel qu'il apparaît » 80. On a d'abord renoncé à montrer plusieurs faces à la fois 82, puis on a découvert par tâtonnement quelques artifices tels que la face latérale raccourcie ou, « irrationalité majeure, [...] la diminution des objets éloignés dans l'espace réel » 85, mais, on « revendique la nécessité de fonder la solution sur des principes » 83, car pour Alberti, « la peinture est connaissance scientifique [... et] le peintre doit apprendre la géométrie » 83. « Premier théoricien de la perspective » 81, celui-ci veut, dès 1435, « montrer ce qui se voit » 81 et non « une composition d'objets dont la figure, la taille et la position dépendent de valeurs symboliques » 83 ; il édicte quelques principes, qui sont encore peu suivis un siècle plus tard. Les perspectivistes prennent pour point de départ « l'optique d'Euclide » qui pose que « les rayons lumineux sont des lignes droites émanant de l'œil » 87 (d'où des objets cachés) et que « les grandeurs sont perçues proportionnellement aux angles sous lesquels elles sont vues » 87 ; ils ont alors l'idée « de couper les rayons [...] par le plan du tableau » 89 ce qui permet de reporter les points par visée, mais aussi et surtout par construction géométrique en définissant un point de fuite 89. suivant une méthode qui, mieux comprise, est rapidement simplifiée 93. Ainsi, les artistes savent étager les plan au moyen de quadrillages en perspective, mais il s'agit plutôt d'un « ensemble de procédures graphiques » 95 et l'on « ne se préoccupe guère d'explication ni de démonstration » 93. Ce n'est que vers 1640 que Desargues découvre la division harmonique dont l'invariance dans la perspective fournit une échelle des distances, puis la correspondance entre faisceaux de droites parallèles et points du tableau en banalisant les points à l'infini qui permettent de traiter de façon unifiée droites parallèles et sécantes, préfigurant la géométrie projective à venir trois siècles plus tard.

Il faut ici bien distinguer l'obstacle esthétique du problème géométrique : d'une part expliciter le choix d'une perspective linéaire (et non, par exemple, sphérique), de l'angle de vue du tableau, d'autre part établir et démontrer la validité des règles de construction. La rationalité est alors satisfaisante, mais non maximale : il est en effet possible de comprendre les lois à un niveau d'abstraction supérieur qui procure une vue unifiée des faisceaux de droites. Par ailleurs, s'il est vrai que la perspective permet des dessins plus fidèles, ce n'est qu'une imperfection parmi d'autres (anatomie fantaisiste, luminosité irrégulière...) ; le placement "exact", lorsque cela a un sens[17], n'est pas toujours une nécessité, et les "défauts de réalisme", souvent même de nos jours recherchés, peuvent justement faire l'intérêt de ces œuvres.

Ces trois exemples que Granger donne de l'irrationnel comme obstacle couvrent de façon diversifiée les trois champs # épistémique, technique, axiologique # qu'il a envisagés. L'importance du champ axiologique en science ne fera que décroître au bénéfice des autres : le placement des objets sur le tableau suit des règles de plus en plus mécaniques, et l'on s'apercevra que les interrogations métaphysiques sur la réalité des « nombres hétérodoxes », ou même sur leur statut de nombre, sont sans objet. Les difficultés techniques semblent peu représentées mais l'on aurait pu évoquer entre autres l'invention des logarithmes pour faciliter les multiplications. Pourtant, l'introduction des imaginaires répond bien à une telle difficulté, contrairement à celle des irrationnels avant tout en quête d'une identité. A chaque fois, le paradoxe apparaît au détour d'une manipulation mais les acteurs en sont très inégalement conscients, et cela semble évoluer avec l'époque. En fait, les difficultés techniques, à peine surmontées, amènent un besoin d'explication et de justification. L'informatique fournit un cas intéressant qui montre que la difficulté peut être d'ordre exclusivement épistémique : un langage de programmation "bien typé" tel que PASCAL impose des règles au niveau du typage que l'on doit obligatoirement transgresser pour certaines applications[18], notamment lorsqu'interviennent des fonctions de fonctions, alors même que cela ne pose aucun problème d'ordre technique ; les langages  fonctionnels, qui généralisent la notion de fonction, permettent de restaurer un typage rigoureux. Dans les trois cas étudiés par Granger, ce n'est qu'à partir du XIXème siècle que les problèmes sont vraiment résolus. Cependant, par rapport aux irrationnels de l'antiquité, le processus est pour la perspective et les nombres complexes bien plus conscient : définition du problème, délimitation de l'impossibilité, démonstration des paradoxes, définition des règles opératoires, recherche d'un cadre conceptuel, légitimation comme objet de plein droit ; enfin, il y a généralisation du processus pour trouver autre chose, et cela, c'est déjà un peu de l'irrationnel comme recours.

Recours

Avec l'irrationnel comme recours, objet de la deuxième partie, l'irrationnel « apparaît non pas tant comme obstacle mais comme recours », non plus pour surmonter un obstacle mais simplement « en vue d'une application plus aisée et supposée plus naturelle ». Une première série de trois (encore !) cas concerne la physique, dont deux plus particulièrement ces opérations symboliques aberrantes qui ont fait sa réputation auprès des mathématiciens... Le rationnel y est comme dans la première partie incarné par le formalisme mathématique, mais l'irrationnel se limite à l'utilisation abusive par manque de rigueur de ce formalisme. D'autre part, la dualité onde - corpuscule pose des problèmes plus ontologiques qui ne sont pas sans rappeler les mathématiques grecques de la première partie. Le deuxième exemple expose divers choix de logiques non classiques, et surtout, sans doute le plus irrationnel, l'abandon du principe de non-contradiction. Enfin, le troisième exemple, choisi dans le domaine artistique, annonce l'irrationnel de renoncement.

physique

Dans le cadre de « l'irrationnel en physique », Heaviside106, sur la base de simples similitudes de notation[19], n'hésite pas à considérer l'exponentielle d'un opérateur, à dériver des fonctions discontinues ou à manipuler des séries divergentes. Pour calculer des circuits, il construit heuristiquement la transformée de Laplace, sans définir clairement ce que désignent les symboles et en usant de l'ambiguïté[20]. Son « calcul opérationnel » est un « jeu d'écriture efficace » et ne prétend pas être une notation « renvoyant aux objets légitimes d'une théorie mathématique ». Il défend même l'idée d'une mathématique empirique, expérimentale, établie par induction, et non plus seulement l'utilisation laxiste, compromettant « la solidité [des] objets de calcul » de théories éprouvées dont la cohérence, au moins, est garantie par la déduction.

Autre cas, la dualité onde - corpuscule 114 se manifeste avec les ondes électromagnétiques par un « dilemme » irréductible au niveau conceptuel, du fait de l'impossibilité de renoncer à l'un des deux aspects[21], celui de la quantification de l'énergie, alors qu'on avait, après deux siècles de rationalisme, « posé l'identité de l'objet  [et] la continuité des processus naturels » 117. La mécanique quantique multiplie les succès mais semble aux physiciens très irréelle, suscite une certaine « mauvaise conscience » 124, ce d'autant plus qu'elle n'est au début pas encore « raccordée statistiquement [...] à la macrothéorie classique » 125, au point qu'on croit parfois à un monde réel sous-jacent, plus conforme à notre intuition, que « la mécanique quantique ne décrirait qu'incomplètement » 122. Pour le moins « sans corrélats dans l'intuition »[22], elle « ébranle l'attachement à la spatialité intuitive des modèles » et au principe de causalité. Finalement, elle « révèle le vrai caractère des représentations scientifiques du monde dans des univers d'objets virtuels entièrement définis dans des systèmes abstraits » 119 ; ainsi, le rationnel est devenu formalisme et système hypothético-déductif, complètement et définitivement détachés du sens commun. Par ailleurs, cette dualité inspire des interprétations, notamment d'une dualité corps - esprit, qui ont « un certain air de spinozisme » voire de « tentation mystique » 127.

A l'opposé de la révolution quantique, la fonction d de Dirac 131 est un recours seulement « local » à l'irrationnel, qui permet d'homogénéiser certaines écritures, en l'occurrence de traiter des répartitions ponctuelles comme si elles étaient continues, ce qui revient à considérer des densités infinies. Cependant, contrairement à Heaviside, Dirac légitime partiellement la notation, comme abréviation d'une formule correcte « où la fonction δ disparaît complètement » 133 et par le fait que les opérations sur les fonctions s'appliquent à cette « pseudo-fonction » naturellement et sans contradiction. La fonction d sera finalement incorporée, dans la théorie des distributions 136, impliquant « la création de nouveaux objets » comme pour « la solution de l'irrationnel comme obstacle ».

Dans ce long[23] chapitre Granger envisage deux formes assez différentes d'irrationnel : l'un est un irrationnel vis-à-vis des mathématiques, l'autre avant tout contraire au sens commun. Le premier (Heaviside, Dirac) concerne surtout le formalisme, et, en quelque sorte, la boîte à outils mathématique sous-jacente : cet irrationnel sera d'ailleurs finalement résolu non par un physicien mais par un mathématicien, et il y aura création d'un objet mathématique qui corresponde à l'écriture hasardeuse. En fait, le second (mécanique quantique) ne relève pas vraiment de la physique non plus : ce qui pose problème est non la formalisation mathématique en elle-même, encore moins son adéquation physique, mais simplement son interprétation par l'être humain. En effet, l'objet quantique va à l'encontre de la métaphysique commune et crée une situation inédite où deux modèles parallèles irréductibles et inconciliables décrivent en même temps la même réalité. D'autre part, ces irrationnels ne sont pas de même nature : dans un cas on préfère une belle formule mal fondée à une formulation moins élégante mais rigoureuse qui dédoublerait systématiquement somme (finie) et intégrale (infinie), dans l'autre on doit renoncer partiellement au modèle intuitif pour un modèle inintelligible, et il y là plutôt un obstacle. En revanche, si l'on considère non plus la mécanique quantique (formelle) elle-même mais recherche mythique d'un objet non encore explicité unitif de la disjonction des équations classiques et quantiques, ce serait bien alors un irrationnel de recours, encore pour des raisons esthétiques d'unité, qui résoudrait cette fois cette sorte de nouvelle dichotomie corps / esprit au raccord toujours paradoxal. Cet irrationnel motivé par l'esthétique est bien un irrationnel de recours ; il n'est pas imposé par un obstacle puisqu'il n'apporte rien sur le plan de l'information objective, mais fournit simplement de l'explication, du « style ». C'est d'ailleurs ce qu'explique Dirac133 lorsqu'il assure que ses notations permettent à tout moment, par des manipulations textuelles purement mécaniques, de retrouver une forme irréprochable. Ce fut le cas également des quantificateurs logiques sur un ensemble fini, de l'analyse non standard, et de certains langages de programmation, mais dans tous les cas, le progrès n'a pu continuer et se généraliser qu'après que les objets eussent été intégrés dans la théorie... Dans ces exemples, il n'y a pas d'irrationnel au niveau de la physique elle-même ; Granger l'a bien vu qui évoque une « rationalité technique ». Le cas de la mécanique quantique est plus complexe ; ce qui ressort au fil de l'évolution, c'est de plus en plus l'absence du rationnel plutôt que l'opposition au rationnel, l'annihilation du cadre de référence plutôt que sa déformation. Autre aspect irrationnel, certains physiciens cherchent désespérément à réduire le quantique au classique, intelligible, alors que tout indique que c'est l'inverse.

logique

Parmi les logiques hétérodoxes, la « logique paraconsistante » de Da Costa139 fournit un exemple où l'irrationnel touche « l'idée même de rationnel », par l'abandon du principe de non-contradiction, et pour que le système ne soit pas trivial, de la définition classique de l'implication dont découle l'ex falso sequitur quod libet. L'ambition est de « mieux comprendre le rôle et la nature des concepts de la logique classique » (notamment, négation et contradiction), d'étudier l'effet de l'affaiblissement des axiomes, de permettre l'évaluation de théories contradictoires et de formaliser certaines dialectiques. Pour « justifier sa logique paraconsistante », Da Costa rappelle « la critique d'Aristote par Łukasiewicz »[24] 143, pourtant sujette à caution, et qui en tout état de cause met en question la bivalence et non la non-contradiction[25] ; néanmoins, il voit comme « véritables précurseurs [...] Vasil'ev et Jaskowski » 147, créateurs respectivement de la « logique imaginaire » (rejet du tiers exclu et principe de non-contradiction, pour certaines propositions) et de la « logique discursive » (contradiction possible lorsque rapportant à des locuteurs différents), qui donne une sorte de calcul modal affaibli pour la négation 150. Sa logique paraconsistante diverge du calcul propositionnel classique seulement lorsqu'apparaît la négation 152. Particulièrement emblématique est l'axiome ؠؠa Þ a du tiers-exclu, symétrique du ޠؠؠa de non contradiction qui est récusé, complémentaires sous le ۠ؠؠa de la logique classique 160. En d'autres termes, « non faux = vrai mais non vrai n'est pas défini » 155 : « le système n'est pas extensionnel, en ce sens que la valeur de vérité des composantes ne suffit pas à déterminer univoquement celle de la proposition composée », ce qui entraîne que « des propositions [équivalentes] ne sont pas en général substituables ».

Il en va de même si l'on admet à l'inverse le seul principe de non-contradiction, mais là « au contraire, les contraintes sont resserrées » 157. En outre, « la nature même de la proposition est ici en cause, et c'est seulement en logique classique que cette notion atteint son degré zéro de contenu, son plus haut degré de neutralité du sens, indépendant alors des conditions de l'assertion » 159. Da Costa cherche toutefois à retrouver les possibilités de la logique classique en isolant les propositions « bien policées » pour lesquelles la loi de non-contradiction est valide 154, 166 . D'autre part, la logique intuitionniste ne raisonne que sur des objets effectifs[26], et donc « ne saurait être considérée comme précurseur ou variante de la logique paraconsistante » 160 ; pour « la logique de pertinence, le rapprochement [par Da Costa] est à peine mieux justifié » 160 car cette logique « est centrée sur une critique du [seul] connecteur d'implication matérielle classique[27] [...] : l'implication « pertinente » exprime une relation intrinsèque [entre les énoncés] » 161, laquelle « est difficile à formaliser sinon de manière un peu artificielle » 162. Cette logique est « orientée de toute autre façon que la logique paraconsistante », et encore, la comparaison n'est possible qu'en « invoquant une certaine homonymie des connecteurs » 163, car la logique paraconsistante, quoique non extensionnelle 156, considère comme la logique classique des objets avec « un degré zéro de contenu formel » 166. On voit donc comment Da Costa tente de se raccrocher à des systèmes logiques non classiques déjà existants et ne convainc guère.

Pour ce qui est de l'utilité, Da Costa envisage des postulats qui conduisent à des contradictions : « à la solution qui consiste à réviser une théorie, [... il oppose celle] qui l'accepte telle quelle [...], mais modifie les règles et les axiomes du raisonnement » et « montre que la conclusion apparemment contradictoire est en réalité acceptable » 168. Ainsi, une théorie des ensembles paraconsistante admettrait le paradoxe de Russell sans tomber dans la trivialité, « mais la fécondité de la nouvelle théorie [laisse dubitatif] » 169. Autre espoir, « les raisonnements effectifs dans la pensée commune » ; on introduit donc « l'idée d'une vérité pragmatique ou quasi-vérité » 170, qui serait simplement non incompatible avec l'ensemble des vérités admises. La logique paraconsistante serait alors au mieux « un garde-fou contre la mise en œuvre, sur des propositions [seulement] quasi vraies, de schémas interdits tels que l'implication ޠؠؠa » 172. Autre application potentielle, les « systèmes de croyance » : une « pensée que codifie cette logique [n'est que] faiblement contradictoire [... au sens où] tout n'a pas la même valeur de vérité : [... c'est d'ailleurs] l'une des exigences les plus fondamentales de la rationalité » 175. Enfin, les logiciens de la paraconsistance ont voulu justifier « la présence possible de contradictions [...], marque irrécusable d'irrationnel » 175 en « se référant à des systèmes philosophiques, [celui de Wittgenstein[28] notamment,] mais en confondant parfois le niveau du système logique opératoire lui-même qui demeure le plus souvent classique, et le niveau des contenus de concepts où est censée régner la contradiction » 176, car, malgré tout, « le but final espéré est une représentation non contradictoire des phénomènes » 173. On peut « [douter de ce que] Wittgenstein [...] aurait envisagé comme possible et présentant quelque intérêt la formulation d'une logique de la contradiction » 178.

Au cours de ce très long[29] chapitre central autour duquel semblent graviter les autres éléments du livre, Granger enrichit considérablement le débat. On peut y voir deux thèmes : l'étude du cas Da Costa, logicien qui tente de construire une logique qui admette la contradiction, et l'évocation successive d'un certain nombre de systèmes logiques plus raisonnables à laquelle il semble servir de fil directeur. Granger ne parvient guère à trouver la moindre qualité à cette logique paraconsistante. Il est vrai qu'un système qui admet la contradiction, même localisée, n'est pas seulement une logique non classique, comme la géométrie de Lobatchevski est non euclidienne, ce n'est simplement plus une logique : de même que les trois premiers axiomes définissent la géométrie ‘absolue’[30], seuls les autres pouvant varier et engendrer les différentes géométries connues. D'ailleurs, Da Costa lui-même est bien en peine de lui trouver une utilité concrète (il est vrai qu'il n'est pas intuitionniste), et il faut être bien optimiste pour croire que la seule renonciation à la non-contradiction suffise à fournir un cadre aux raisonnements communs... Il y a là un irrationnel à double aspect. En premier lieu, l'irrationnel métathéorique, qui intervient dans cette logique pour des pensées non rationnelles, non pas en tant que tel (on peut être psychiatre sans être fou, a priori), mais dans le fait d'admettre la contradiction dans le système alors qu'il existe tant de solutions rationnelles plus naturelles : si X et Y disent l'un a l'autre Ø a, il est évident que Z, s'il a un esprit quelque peu logique, notera que (X Þ a) Ù (Y Þ Ø a) ou bien quelque chose comme [a]X Ù [Ø a]Y mais certainement pas l'aberrant ٠ؠa, fût-ce en tant que ‘quasi-vérité’. En second lieu, l'irrationnel psychologique de celui qui cherche frénétiquement à justifier une absurdité en invoquant pêle-mêle ce qui n'a ne serait-ce qu'une vague ressemblance superficielle avec elle : on voit ainsi défiler entre autres Aristote, Brouwer, Wittgenstein ... D'ailleurs, Granger écrit curieusement que « l'une des propriétés les plus intuitives de la rationalité logique est que le contradictoire entraîne n'importe quoi » 140, alors que cela n'est vrai que si l'implication ne s'éloigne pas trop du sens classique, et ce qui revient alors à proscrire la contradiction...

Le chapitre permet aussi, au passage, de découvrir des systèmes logiques non classiques et d'apercevoir l'irrationnel dans ces systèmes et de réfléchir sur la logique en général. Ainsi, pour Brouwer, fondateur de la logique intuitionniste, « [la logique] n'est jamais qu'un langage, postérieur à l'activité intuitive authentique du mathématicien » 157 ; elle « n'est ni le fondement des mathématiques, ni un instrument indispensable à leur construction » 158. Ce refus du formalisme est une attitude tout irrationnelle. En fait, non seulement la logique intuitionniste sera « codifiée avec succès, [...] axiomatisée » 158 peu après par son disciple Heyting[31]. L'irrationnel des logiques intuitionniste et de pertinence rappelle bien davantage que la logique paraconsistante l'irrationnel de recours en physique, où il réside dans une entorse raisonnable au formalisme guidée par une idée intuitive de ce qu'on souhaite obtenir et de son utilité. Ainsi, dans la logique de pertinence, le tiers n'est pas exclu mais l'on postule ses conséquences classiques importantes (a Þ Ø b) Þ (b Þ Ø a) (contraposition), ؠؠa Û a et (a Þ Ø a) Þ Ø a 160, « pour retrouver certains résultats de la logique classique », en attendant une éventuelle solution plus élégante dont ils découleraient. Ici, il ne s'agit donc pas de modifier les axiomes au hasard ou par provocation, mais de trouver une solution hors d'un cadre rationnel devenu trop étroit. La démarche reste sans doute irrationnelle, ou plutôt non rationnelle, mais elle est en tous cas raisonnable. D'autre part, il s'agit d'un recours, mais malgré tout destiné à surmonter un obstacle, quoique subjectif, d'ordre esthétique ou axiologique : la logique intuitionniste (comme l'analyse non standard) n'apporte rien qu'une reformulation[32] jugée plus satisfaisante par certains c'est-à-dire un nouveau « style ». Au contraire, la logique paraconsistante présente un véritable irrationnel de recours car un certain irrationnel tend à devenir un but en soi.

art

Le domaine de l'art, connaît lui aussi un irrationnel de recours. Certes, « l'artiste revendique l'irrationalité comme une libération et l'ouverture vers des créations inattendues, vers des objets nouveaux, des mondes imprévus dont l'étrangeté est alors perçue comme la condition même du poétique », mais « à l'issue d'un temps généralement assez court d'exploitation de l'irrationnel, [... sans que] le mouvement se résolve par un retour manifeste au rationnel, [... il semble que] la veine irrationaliste se tarisse ou se perde dans des résurgences affaiblies » 181. Granger en propose deux spécimens : le dadaïsme et le surréalisme, pour lesquels on dispose « des riches exposés et manifestes de [leurs] fondateurs » 183, respectivement Tzara et Breton. Les deux « proclament un rejet de la logique et du bon sens » 183. Le dadaïsme fait vœu de « détruire les idées » 184 elles-mêmes, mais Breton veut seulement « rompre les cadres préformés [... afin de] libérer l'imagination [... et] parvenir à un point de passage entre le réel et l'imaginaire » 185. Les deux ont une conception exaltée de la vie, mais l'un, quasi mystique et farouchement individualiste, veut « détruire tout ce qu'on a fait jusque maintenant, [...] les organisations utilitaires, rationnelles » 187, l'autre, au contraire idéaliste engagé et communiste, cherche à bâtir un « mythe collectif » 189 contre une logique « bourgeoise ». Pour l'un « l'art est la vie même » 190 et doit restituer « l'homme dans sa subjectivité » 190, pour l'autre, l'art est « une expression universelle » 191 qui doit décrire la « surréalité contenue dans la réalité même » 197, « peindre un monde intérieur par le truchement d'une vision du monde extérieur » 197. Le surréaliste recherche avec la psychanalyse « l'illumination des lieux cachés », tandis que l'autre se méfie de « ces doctes analyses [... qui] endorment les penchants anti-réels de l'homme » 192. Dans ce but, on recourra au hasard ou à l'automatisme, on inventera des sons pour « abolir complètement la fonction signifiante du langage » 194, ou du moins, on cherchera à lui « faire exprimer autre chose que le sens manifeste qu'il véhicule dans la communication utilitaire » 193, « renversant l'équilibre entre un sens du premier degré et la suggestion d'un sens latent » 195. Ainsi, on espère « reconstituer un monde qui concilie l'intérieur et l'extérieur » 198. Ce refus fondamental du primat du monde extérieur et des capacités qui permettent de l'appréhender, mais aussi des règles esthétiques usuelles, caractérise une « irrationalité profondément assumée » 196, qui, contrairement au « recours » rencontré en physique ne vise pas « une restauration du rationnel » 198 mais tend à « la recréation d'une transréalité ».

Finalement, la question est ici moins de trouver de l'irrationnel que de déterminer en quoi il y a recours et non état permanent. Si l'on établit une comparaison avec les perspectivistes de la Renaissance, on remarque que la démarche est inverse : l'un recherche des lois précises pour approcher une perpective véridique, l'autre au contraire prend le contre-pied de la photographie, laquelle a rendue vaine l'exactitude en tant que telle et secondaire la ressemblance avec la réalité. Dès lors, le recours à l'irrationnel n'est plus seulement inconscient ou implicite, il devient une méthode et une fin[33]. Les époques sont aussi très différentes : l'une découvre un nouvel univers prometteur (Amérique, système solaire) l'autre au contraire déçoit beaucoup (Guerre Mondiale) et ne peut que pousser à fuir la réalité, par exemple en se raccrochant à une idéologie, laquelle était à l'époque encore crédible. Ces deux irrationnels sont donc on ne peut plus différents : dans un cas on s'extirpe de conventions étouffantes autant qu'inopérantes pour chercher un « nouveau rationalisme », dans l'autre on renie un monde rationnel dont on a une vision négative pour exacerber la subjectivité et l'irrationnel, puis de nouvelles conventions... On peut pousser le parallèle plus loin : délibérément et définitivement, la science s'émancipait de l'irrationnel, l'art s'émancipe maintenant semblablement du rationnel. En cela, ce recours à l'irrationnel est déjà un renoncement.

Renoncement

Avec l'irrationnel comme renoncement de la troisième partie, curieusement limité à la science, « la démarche scientifique soit rencontre des difficultés fondamentales à maintenir un concept complètement rationnel [...] soit perçoit comme insatisfaisantes les explications rationnelles et poursuit sa recherche sur le terrain d'une métaphysique qu'elle veut cependant considérer comme le prolongement légitime de la science » 203. Premier exemple, la cosmologie : « l'idéal de rationalité n'est pas abandonné » 203 mais le système construit est invérifiable ou inintelligible. Le deuxième concerne la conscience où le modèle théorique trop indéterminé laisse le champ libre aux interprétations fantaisistes. Enfin, le dernier exemple évoque l'abandon pur et simple aux élucubrations.

cosmologie

La cosmologie a ceci de particulier que son objet est la totalité unique, « sans extériorité » ni « autres objets [comparables] », qui comprend « une empirie par nature inaccessible » 206. Kant, après quelques vaines spéculations sur les mondes, exerce sa « pensée critique » sur les « concepts de temps et d'espace infinis » 207 et voit une contradiction, qu'il dissout en postulant une « réalité empirique du monde comme phénomène » distincte de la « réalité supposée comme chose en soi » 209. Avec Einstein, « la cosmologie s'efforce de fournir un modèle mathématique » 210 de l'univers dans sa totalité, qui devient un « espace-temps gravitationnellement structuré par la présence des masses » 211. D'abord, il essaie d'appliquer à l'univers dans son ensemble les lois de la Relativité Générale, avec des simplifications justifiées expérimentalement et valables a priori seulement localement. Puis, pour « éviter [... les] difficultés » 213, il « introduit [...] deux constantes ad hoc » dont la détermination est plus ou moins « arbitraire » 216 ; mais il fait toujours « l'hypothèse erronée du caractère statique de l'univers » 215 et autres simplifications douteuses. La notion de temps y est insaisissable, bifide : paradoxe que Kant avait peut-être entrevu[34], « l'espace-temps, quoique cadre des transformations de la matière-énergie, a lui-même une histoire » 220 et par ailleurs fait intervenir un « temps cosmologique » 217 qui cadence « l'expansion de l'univers » 220 qu'atteste « le phénomène du décalage vers le rouge [...] des galaxies lointaines » 219, lequel, proportionnel à la vitesse d'éloignement 218, elle-même fonction de la distance (supposée nulle au départ) fournit une « estimation de l'âge de l'univers » 221, « origine des temps » qui pose la question kantienne 208 de ce qu'il y avait avant, « à moins de décider que cet événement singulier est une limite jamais atteinte » 221. Le modèle d'évolution de l'univers est confirmé par quelques expériences, « mais la situation épistémologique est bien plus incertaine lorsque la reconstitution [remonte en deçà de la microseconde] » 223. Du fait de « l'inaccessibilité radicale » 224 des expériences correspondantes, « les hypothèses relèvent d'une espèce de roman métascientifique » 223 voire de « mythe » avec la ‘grande unification’ : voilà « un renoncement au moins partiel à l'idéal rationnel de vérification » 224.

matière et conscience

La conscience est quelquefois invoquée pour « combler une lacune de causalité » 233 dans l'explication des phénomènes, n'en rendant « l'inintelligibilité » que « plus radicale », et sans qu'on cherche rationnellement à en préciser le mode d'interaction, sans qu'il soit même clair si « l'acte mental opère dans le phénomène [... ou] sa représentation mathématique » 232. La « réduction du paquet d'ondes » en mécanique quantique c'est-à-dire le passage d'une onde multiple à une valeur de mesure unique reste un mystère[35]. Wigner explique que c'est la conscience qui en bout de chaîne fixe la valeur ; cela conduit à des absurdités mais ne le décourage pas de revendiquer « la réalité [ultime] de l'esprit » 232. D'Espagnat renchérissant y voit un dualisme matière - esprit. Ayant admis la « compensation d'une entropie par une information que produit la mesure » 234, Mattuck relie la réduction du paquet d'ondes à l'acte mental de mémorisation, et y voit « l'explication de ‘phénomènes paranormaux’ » 236... Tout comme Costa de Beauregard, qui les justifie partant de la « réversibilité [temporelle] dans les microphénomènes » pour envisager l'interaction avec le passé et la perception de l'avenir, puis construire une « interprétation finaliste » 238. Par ces spéculations, la science rejoint la science-fiction ; par la motivation de ces interrogations, elle s'approche de la philosophie. Cependant, « l'irrationnel n'est pas ressenti comme une opposition au rationnel, mais plutôt comme une ouverture vers un monde caché en même temps que le signe avant-coureur, encore indistinct, d'une science future » 239.

élucubrations

Enfin, le mythe pseudo-philosophique auquel s'abandonnent certains penseurs, anciennement ou parallèlement savants, réalise une « étape ultime du renoncement au rationnel » 245. Ils « renoncent aux exigences d'une connaissance scientifique pour accéder dans le prolongement de celle-ci à une autre espèce de connaissance, [... peut-être] une parodie de philosophie » 246, méconnaissant la distinction entre science et philosophie[36], dont les « rapports étroits », pour être fructueux, interdisent la « confusion des registres » : « pas plus que le discours de la méthode n'est une espèce de calcul, le calcul infinitésimal leinizien n'est un discours philosophique sur l'infini » 248. Ainsi, Prigogine estime que certaines sciences annoncent un retour de « l'imprévisibilité comme fait fondamental de la nature » 251, d'où une aspiration à une « nouvelle alliance » de l'homme avec la nature, qu'il fait mine d'étayer avec la théorie du chaos ou ses résultats sur l'« évolution organisante » 250[37]. Grand astrophysicien 252, Eddington croit à « l'importance primordiale des réflexions sur la connaissance » 253. Comme « Einstein déduit [... tout] de deux principes », il essaie lui, dans sa Théorie fondamentale, de prédire a priori les constantes universelles de la physique ; ses calculs techniquement rigoureux, ses hypothèses arbitraires et ses « savants artifices » 257 donnent des valeurs approchées de celles connues à l'époque... Bohm, lui physicien, croit à une unité « de plus grande dimension » ; il invoque tout à tour « potentiel quantique », métaphore de l'hologramme, monade leibnizienne, dans « une indistinction de la représentation abstraite et de l'interprétation signifiante » 261. Whitehead au contraire annonce d'emblée « construire un véritable système philosophique », spéculatif, mais « qui propose une interprétation cohérente de la totalité de l'expérience » 262 ; devenu philosophe, « il proclame [néanmoins] hautement son espoir dans le rationalisme ». Il n'en est plus de même de Capra qui effectue « une fusion de connaissances scientifiques et de philosophie orientale » et « se rattache délibérément à une tradition mystique » 265, qui n'a même plus « les apparences de concept scientifique bien construit » 267 comme précédemment.

Conclusion

Dans sa conclusion, Granger tente « non pas une définition véritable mais une élucidation et un commentaire » 269 de l'irrationnel. Il discute en même temps la pertinence de sa classification, en précise la formulation, et décrit quelques situations génériques. Il s'interroge sur le paradoxe apparent de l'utilité de l'irrationnel dans la science et porte « une attention aux complexités de l'œuvre de science dans sa production » 272.

 

Discussion

Ce livre a ceci de frustrant qu'il contient déjà une bonne partie des commentaires qu'on pourrait en faire : résumés et synthèse en fin de chaque chapitre, remarques générales à la fin. Dans ces conditions, tout commentaire supplémentaire, pour justifier son existence, devrait expliquer son absence dans le texte... Plusieurs alibis sont possibles : profiter de la nécessaire incomplétude dans un ouvrage de longueur raisonnable, mettre en relief ce qui inévitablement ne l'a pas été parce que l'on ne peut tout mettre en relief, et proposer une interprétation partiale ou au moins subjective à laquelle l'auteur s'est refusé. Il serait mesquin et stérile de questionner l'emploi des termes : forcément, ils ne sont pas parfaitement définis, et leur application à des domaines extrêmement différents à des époques différentes ne peut être irréprochable. On cherchera au contraire à comprendre la pensée de l'auteur, et le cas échéant, à la préciser. Tout cela avait déjà été plus ou moins exploité pour chaque partie particulière ; il reste à le faire dans une optique plus générale.

forme opération objet

Objet et opération sont deux concepts qui ont un rôle essentiel, et il est utile de les préciser à la lumière de FOO. La définition rigoureuse de concepts aussi primitifs semble impossible. Cependant, la théorie des catégories propose une axiomatisation qui, comme le note Granger, « analyse profondément » foo : 387 les deux premiers concepts[38] : « les morphismes introduisent les opérations comme concept mathématique sous leur forme la plus abstraite et la plus générale » foo : 387. Et même trop générale pour des objets d'un type particulier, si bien qu'elle ne fournit pas de modèle intuitif et rapidement utilisable. Au passage, cette définition qui, « fait épistémologique essentiel, [... pose une] codétermination des opérations et des objets » foo : 387, d'une catégorie donnée, explique la difficulté fondamentale d'une définition générale de ces métaconcepts. La définition que donne Bourbaki[39] des structures est plus concrète et d'utilisation plus immédiate. En gros, on part d'un ensemble d'éléments qui sont les objets, et les opérations sont des fonctions d'un certain type assorties de certaines propriétés. Ce point de vue ensembliste qui part des objets diffère sensiblement de celui de la théorie des catégories, qui « privilégie l'aspect opératoire » foo : 388, et est peut-être plus naturel ici car « l'opération est tout autant # et le plus souvent bien davantage # conceptuelle que matérielle » foo : 384. Au contraire, les objets correspondent aux objets de la réalité, ou du moins ce qui est perçu comme tel, et donc ne sont pas des abstractions qui relèvent de la seule méthode axiomatique. En tous cas, voilà sinon une garantie du moins un bon présage de l'absence de cercle vicieux entre objet et opération, tels qu'on les envisage ici, c'est-à-dire dans une acception beaucoup plus vague.

Ces concepts sont pertinents partout où « joue à quelque niveau et à quelque degré de clarté l'opposition reconnue comme catégorie fondamentale de la pensée de l'opératoire et de l'objectal » foo : 385. Granger « définit la connaissance proprement scientifique comme connaissance par construction de modèles abstraits des phénomènes ainsi transmués en objets, [...] à la fois manipulables au moyen d'opérations formelles dans un espace de représentation, et plus ou moins directement rattachables aux phénomènes par un système d'opérations matérielles »  foo : 383. Ainsi, l'arrière-plan conceptuel définit une vérité comme cohérence qui correspond en certains points, de façon médiate et complexe, avec l'avant-plan matériel transcendant au premier. Le scientifique est ainsi créateur des objets et opérations au niveau abstrait, éventuellement des instruments de mesure et des objets d'expérimentation au niveau concret, mais la créativité pour les objets de la réalité eux-mêmes relève plutôt de la technique. Enfin, cela change, puisqu'on peut maintenant créer des univers virtuels...

Le concept d'objet est moins clair pour l'art. Selon Granger, « l'objet scientifique est une construction abstraite, un modèle des phénomènes, [mais] l'objet esthétique est au contraire une restauration d'une expérience concrète, soit qu'elle vise à reproduire avec style une expérience déjà éprouvée, soit qu'elle tente la production d'une expérience toute nouvelle, mais au moyen de matériaux sensibles existants » foo : 386. On pourrait dire que l'art n'a pas pour but de « sauver les phénomènes » mais au contraire de les créer, de créer une pseudoréalité qui prolonge celle que nous percevons banalement. L'artiste peut donc être doublement créateur, abstraitement quant à son système esthétique, concrètement quant à l'œuvre d'art qui l'incarne. Ainsi, l'analyse esthétique d'un paysage naturel quelconque ou la génération aléatoire d'une image relèvent tout au plus d'un art marginal. Pour ce qui est du système, une difficulté majeure réside dans une subjectivité dont l'intersubjectivité est très incertaine, contrairement à la science qui est dotée d'une base formelle très contraignante.

Or la comparaison entre art et science devient possible avec les possibilités de modélisation sur ordinateur. Dans les deux domaines, quoique rudimentairement, il est possible de spécifier formellement un système, et de générer, par exemple une image qui ait pour l'observateur une certaine réalité. La différence entre science et art est dès lors plus précise. En premier lieu, il y a une différence au niveau de ce qui est donné et ce qui est construit : pour la science, un réel est donné, et l'on construit surtout un formel qui lui corresponde, l'inverse valant pour la technique ; pour l'art, on peut choisir un formel parmi beaucoup, et créer le réel correspondant. Selon cette remarque, la science serait un art particulier, dont seul Dieu pourrait pratiquer la technique dans son entièreté... Mais, en second lieu, l'art a des répercussions non formelles directes et essentielles sur son consommateur, beaucoup plus que la science. En fait, le modèle que propose Granger ne se réduit pas à cette espèce de biplan formel - réel car il envisage en fait un troisième plan qui porte le « métaconcept [qui] se rapporte non pas à l'expérience, réelle ou possible, mais à une représentation de l'expérience » foo : 17 donc elle comprise dans le deuxième plan. Fatalement, une telle modélisation ne peut rendre compte intégralement et précisément de ce qu'elle schématise : les trois plans ont des relations inextricables, chaque esprit a sa subjectivité, l'œuvre d'art est souvent doublée d'une interprétation foo : 388... La représentation est donc plutôt pyramidale du concret des perceptions à l'abstrait des métaconcepts ultimes.

Perception : impressions et représentation

Autre distinction fondamentale pour la discussion : impression et représentation. Granger est conscient de ce que « la rationalité suppose une distinction entre des impressions et une représentation, production symbolique d'un sujet » 269. Il ne va pas de soi que les impressions ne sont pas simplement une représentation rudimentaire. Le trait distinctif, caché sans doute dans le mot « sujet », est que la représentation a une mémoire, alors que l'impression est un simple état momentané : l'impression est la réaction immédiate et éphémère de l'esprit à une perception (qui peut être externe ou interne). Une autre différence : l'intensité de l'impression est fonction directe (linéaire, logarithmique, etc. peu importe) du stimulus, tandis que la représentation en est quasiment indépendante et peut même manipuler des grandeurs infinies[40]. En ce sens, le thermomètre à alcool a des impressions tandis que le capteur numérique construit une représentation ; de la même façon, une photographie est une impression mais une description verbale est une représentation...

Parmi les représentations, certaines sont primitives qui rapportent directement à une perception (un chat) et relèvent des « prégnances » au sens de Thom, ou sont non définies, objets (le nombre 147) ou opérations (« passage de la disjonction à la conjonction » de Whitehead). Celles qui ne sont pas primitives sont définies à partir de représentations déjà acquises. Une représentation s'acquiert soit ainsi, soit par « saillance » (Thom) de l'impression, de par sa répétition ou son intensité, dans le cas des représentations primitives. De plus, rien ne s'oppose par principe à ce qu'une impression porte sur des représentations ; bien au contraire, la représentation réussie d'une telle impression conduit à un métaconcept. Ces représentations, en perpétuel devenir, sont suscitées soit par le pur travail de l'esprit, soit, le plus souvent, par une perception dont les formes[41] sont reconnues. Voilà avec des termes modernes une conception pas très éloignée de celle de Locke.

En présence d'une perception, l'esprit peut donc, soit se contenter d'une impression, soit établir une représentation, soit encore mélanger ces possibilités. La représentation consiste en la reconnaissance d'une forme déjà assimilée (prégnance), ou en la création d'une représentation originale (saillance du stimulus), ou encore en n'importe quelle construction mixte. D'un autre point de vue, les perceptions donnent lieu d'une part à des impressions ou des représentations inédites, d'autre part à une représentation qui se construit par la médiation d'une interprétation selon un "système du monde". Un tel système est par définition symbolique.

Le rationnel et l'irrationnel

L'irrationnel ne peut être « caractérisé [...] qu'à travers une détermination de la rationalité » 269 laquelle « relève toujours au sens large d'une connaissance » 269, et plus exactement, d'un système cognitif qui comprend la « technique », l' « éthique » et la « connaissance au sens étroit » 269. Granger distingue la « rationalité dans l'action » (technique, axiologique / éthique) et la « rationalité dans la connaissance » (au sens étroit), dont toutefois il reconnaît l'enchevêtrement. La première consiste en « l'adaptation optimale des moyens aux fins » 270, c'est-à-dire que les actions sont valorisées positivement ou négativement. Dans le cas « technique », cela conduirait à une exigence « non intégrée dans un système plus général », et dans le cas « axiologique », elle « dérive[rait] d'une subordination à des principes ». Quant à la « connaissance », sa « rationalité propre » consisterait selon Granger à « concevoir et organiser son objet de telle sorte que ses parties ne soient pas [...] contradictoires » 271.

Granger explique qu' « il y a contradiction lorsque l'enchaînement [des pensées] est interrompu par impossibilité d'appliquer les règles », définition qui contient effectivement celle de la contradiction logique dès lors qu'on soumet le résultat des règles à la logique, ce qui entraîne sur le champ que la logique paraconsistante est irrationnelle. La contradiction, dit Granger, connaît « deux variantes » : lorsqu'il est « impossible d'appliquer conjointement deux systèmes de règles » ou lorsque, au contraire, pour « deux systèmes applicables à un même objet, [...] il est impossible de traduire les résultats l'un dans l'autre » 271. Or, il n'y a contradiction spécifique dans  le second cas que si l'on exclut que deux systèmes puissent être étrangers l'un à l'autre, ce qui serait absurde puisqu'ils peuvent décrire fort bien deux aspects indépendants de la réalité. En revanche, on peut penser que deux tels systèmes doivent pouvoir être subsumés en un système plus général qui restaurerait l'unité de description ; il y a donc tout au plus contradiction avec un principe présupposé d'unifiabilité. En fin de compte, la distinction des deux variantes ne semble pas utile parce que ce principe n'est qu'un principe parmi d'autres. Mais surtout, Granger identifie le rationnel et le logiquement cohérent, et, pire, l'irrationnel avec le contradictoire. Même si le rationnel était ce qui est non contradictoire, ce qui n'est pas rationnel contiendrait certes le contradictoire, mais aussi presque tout le reste : le flou, l'incertain, l'aléatoire, le syntaxiquement incorrect... Or, réduire le rationnel au non contradictoire impose cette factorisation bizarre entre « rationalité dans l'action » et « dans la connaissance », qui relève peut-être de la seconde « variante »... Cela pose aussi des problèmes épistémologiques effrayants du fait de la subordination à une logique plus ou moins absolue, et cela interdit par principe une connaissance subjective, à moins d'escamoter le problème en rapportant tout discours à son énonciateur. Ainsi, la définition devient de plus en plus inapplicable à mesure qu'on s'éloigne de la science orthodoxe. Tout cela est donc trop réducteur.

L'irrationnel, dit le Petit Robert, est « ce qui est inaccessible ou contraire à la raison », et le rationnel est mis en rapport avec le raisonnement[42]. Pour Lalande, dans son Vocabulaire, le rationnel est ce qui « appartient à la raison ou lui est conforme », ou bien est « logique et conforme à la bonne méthode » ; l'irrationnel est ce qui est « étranger ou même contraire à la raison ». Il semble en fait que si le rationnel finit par être conforme à la logique, il commence par être seulement raisonnable ; les difficultés précédentes suggèrent que l'irrationnel dans la science ne peut être réduit à l'illogique, un peu de la même façon que les équations de réels ne peuvent être toutes traitées avec les seuls réels... En revenant à la conception initiale de Granger, on peut définir la rationalité simplement comme l'observance d'un système (symbolique) de pensée éprouvée : la science est alors un sommet de rationalité qui peut ambitionner la non-contradiction, mais le bon sens en est simplement un cas moins solide. L'absence de contradiction n'est pas requise dans l'absolu : il n'y a pas irrationalité lorsque simplement on n'a pas conscience de la contradiction. En revanche, une condition nécessaire semble être que le système soit appréhendé consciemment. Une construction intellectuelle rationnelle proscrit donc les impressions et requiert des démonstrations sur des représentations, et les mathématiques sont en cela exemplaires. Lorsque la construction prétend représenter une réalité, les impressions sont en dernière analyse inévitables, mais il convient de les assurer par une méthode expérimentale adaptée ; ainsi, on peut circonscrire l'irrationnel et le réduire au strict minimum[43].

être irrationnel, c'est au degré le plus grossier ne pas réfléchir du tout, ou réfléchir moins qu'on aurait pu, avec pour corollaire ne pas suivre une rationalité pourtant acquise (avec des règles déjà reconnues) ou bien encore virtuelle (avec des règles qu'on aurait pu établir par la réflexion). En particulier, c'est se contenter d'impressions au lieu de rechercher des représentations fiables. Ensuite, ce peut être réfléchir, mais néanmoins ne pas suivre un système rationnel, ou plus précisément réputé tel par l'individu et la société[44]. C'est surtout cette situation qui concerne les cas qu'étudie Granger. L'irrationnel se conçoit alors en premier lieu relativement au système qu'il renie : un irrationnel absolu supposerait un système absolu. Or, il y a sans doute un noyau commun à toutes les rationalités, comprenant par exemple la non-contradiction, mais chaque individu ou société admet en outre une nuée de règles qui apparaîtront peut-être un jour comme infondées. Cependant, si ces règles sont infondées, donc fondées sur de l'irrationnel, elles n'en sont pas moins conscientes et ressortissent donc à la rationalité. Ainsi, cette « notion d'irrationnel suppose toujours, sinon chez l'acteur irrationnel lui-même, du moins chez l'analyste, une représentation de ce à quoi elle s'oppose, [...] dont elle contribue à mettre en lumière a contrario le sens, la portée et la valeur » 9.

Les exemples

Les illustrations que fournit Granger vont pouvoir être réexaminés ; on pourra alors expliciter ce qui est en filigrane (gardé pour le prochain livre ?), tout au long de l'ouvrage. La rationalité implique un système en devenir permanent qui devient de plus en plus complexe, mais on peut déjà, pour la science et l'art, distinguer, avec Granger, divers groupes (certes flous) d'objets ou opérations permis : épistémiques (ontologique, sémantique, épistémologique...), techniques (logique, algébrique, syntaxique...), transcendants (axiologique, esthétique...). L'irrationnel ne s'exprime pas forcément contre tous à la fois ; d'ailleurs, il peut être d'opposition, par rapport au rationnel ou à un autre irrationnel, mais aussi, de fondation[45].

Si les Grecs sont les fondateurs de la rationalité, leur contribution principale est sans doute cet ensemble qui comprend la dialectique et la réflexion, lesquels supplantent l'argument d'autorité, les impressions et la transe comme moyens d'atteindre la vérité. En particulier, leur réflexion amène la découverte des lois logiques élémentaires et la « ritualisation d'une méthode de démonstration » 23. Les mathématiciens hellènes constatent que certaines opérations conduisent à des résultats non représentables ; l'impossibilité est à découvrir et son explicitation est déjà « un progrès de la connaissance » 77 au niveau épistémologique. En outre, le nombre-rapport étant défini implicitement comme ce qui est (rationnellement) représentable par les logoi, il vient l'idée bien platonicienne (?), oppositive au présupposé irrationnel que la représentation n'épuise pas le concept. La rationalité ontologique (le rapport entre la diagonale et le côté existe) va imposer un irrationnel technique (on ne peut pas le représenter comme les autres rapports). Les Grecs ont le souci de généraliser l'arithmos afin de prolonger la correspondance et d'étendre le « style » arithmétique, souci qui bien plus tard sera explicité, rationalisé et élevé au rang de méthode de recherche. Enfin, ils ne voient pas l'unité de l'arithmos et de ces rapports, mais cela ne conduit qu'à une inefficacité ontologique, non à une irrationalité et encore moins à une bien contradiction. Par ailleurs, comme l'a remarqué Kuhn, un rationalisme technique bien rôdé, un « académisme, achèvement heureux et fixation d'un style » 24, est en lui-même un obstacle : ainsi, « la pratique des quantièmes freinera la formation du concept général de fraction » 28.

Les mathématiciens de la Renaissance s'aperçoivent de ce qu'une séquence de calculs suivant la plupart des règles de la rationalité algébrique mais faisant intervenir des opérations normalement interdites[46] qui produisent des objets ontologiquement irrationnels, conduit néanmoins à un résultat sensé et avéré, tout à fait satisfaisant pour la rationalité épistémique. Les règles de calcul, même parfaitement définies, ne suffisent pour l'intelligibilité : ce n'est qu'avec l'analogie géométrique, « rationalisation par représentation intuitive dans une espace » 75, que les nombres ne sont plus « imaginaires » mais simplement « complexes ». L'enrichissement de la rationalité algébrique, « rationalisation par formulation de règles de composition algébriques » 75, permet peu à peu de cerner les nouveaux êtres : « la levée complète de l'obstacle que constitue l'irrationalité n'aura lieu que lorsque les nouveaux objets seront intégrés à un univers où ils se trouvent directement associés à un système opératoire, et même jusqu'à un certain point, définis comme opérateurs » 76. Finalement, on remet en cause la notion de nombre, ce qui permet d'obtenir à nouveau un système fermé, incarné par le Théorème de D'Alembert[47], car « le noyau dur de l'irrationnel subsiste tant que les résultats [...] impossibles ne sont pas réintégrés aux côtés des nombres entiers ou fractionnaires comme les objets les plus généraux d'un calcul » 77. En outre, ces rationalisations latentes sont explicites chez Gauss et une révolution épistémologique se profile : l'étude systématique des objets définis seulement par leurs propriétés, idée qui ne sera vraiment intégrée qu'après les géométries non euclidiennes. C'est aussi la subordination et la relativisation du rationnel technique au rationnel ontologique : les règles de calcul peuvent presque être quelconques pour peu que l'objet soit adapté. Autrement dit, il n'est pas irrationnel de violer une règle lorsqu'une métarègle, relevant d'un rationnel épistémologique, le prescrit : étudier un groupe non commutatif n'a donc rien d'irrationnel, même si les groupes de nombres connus le sont tous.

Une fois qu'on pose un principe rationnel transcendant que l'art doit reproduire (ou au moins approcher) le réel, une rationalité technique reste à fonder. Cela consistera ici, pour la perspective, à passer du qualitatif au quantitatif, de l'empirique au rationnel : de la règle rationnelle mais transcendante (car elle découle d'une impression) qui consiste à « diminuer arbitrairement d'un tiers les longueurs à chaque degré d'éloignement » 85, on parvient à une quantification fixée par des règles techniques (rationnelles) justifiées par le raisonnement. Ainsi, on fait reculer l'irrationnel, rejeté derrière le choix esthétique transcendant d'une perspective linéaire, excipant de ce que l'on projette sur le tableau, un présupposé implicite étant que pour reproduire l'impression chez celui qui regarde le tableau, celui-ci doit se superposer à la réalité à la façon d'un tableau de Matisse. En outre, la théorie de la perspective explique « l'irrationalité majeure [... qu']est la diminution des objets éloignés dans l'espace réel » 85, irrationalité d'une impression qui est contraire au fait rationnel que les longueurs sont identiques, qui fait dire à Della Francesca que « l'intellect ne peut juger par lui-même de la mesure » 85. Desargues quant à lui surmontera « l'inintelligibilité [... de] l'assimilation des éléments infinis et infiniment petits à des éléments à distance finie » 102. Enfin, la rationalité technique de construction en perspective n'est qu'un premier degré dans la rationalisation dont les espaces projectifs esquissés par Desargues constitueront le deuxième et la théorie des variétés un troisième, chacun engendrant le système précédent comme cas particulier.

Ainsi, « l'obstacle est surmonté d'abord techniquement » 77 par des règles ad hoc qui engendrent un cheminement purement formel ; cette légitimation superficielle est sans doute cohérente mais il lui manque un principe générateur simple qui lui enlèverait son arbitrarité. Progressivement, cette armature est supportée par une charpente conceptuelle plus abstraite. Souvent, celle-ci s'intègre à la structure globale déjà existante, ou alors la subsume. En effet, « le noyau dur de l'obstacle irrationnel subsiste tant que les résultats d'opérations de mesure impossibles ne sont pas réintégrés aux côtés des nombres entiers ou fractionnaires comme les objets les plus généraux d'un calcul » 77. Comme Granger l'a remarqué, la mise en dualité de l'objet et de l'opérateur est un signe que les objets sont pleinement intégrés car elle implique un connecteur unitif d'ordre supérieur. Ainsi, « la rationalité est obtenue en s'élevant à un niveau qui domine celui des objets primitifs, en thématise les formes opératoires, et constitue à partir d'elles de nouveaux objets, dans un nouvel espace » 78 car considérer les opérations comme objets permet de définir des opérations d'ordre supérieur et ainsi de suite. La thématisation, également, consiste à intégrer au niveau d'une logique du premier ordre des éléments auparavant relégués au second. Enfin, psychologiquement, c'est nominaliser le verbe pour l'abstraire de l'espace-temps, transcender sa contingence événementielle et actantielle, et corrélativement en stabiliser la signification. Souvent, l'objet initial est en germe dans le nouvel objet : c'est ainsi que les ensembles de nombres vont s'élargissant, l'entier étant une fraction de dénominateur unitaire, elle-même nombre complexe de partie imaginaire nulle. Dans certains cas seulement, « les objets primitifs apparaissent comme les projections des nouveaux [objets] dans l'espace ancien » 78 : dans le cas général, des homomorphismes de structures sont autant de passerelles qui permettent de retrouver l'un dans l'autre.

Cela fournit un puissant « moteur de progrès théorique » 131 : créer de nouveaux objets, puis effectuer des opérations interdites sur des objets existants, résoudre les problèmes, et recommencer, autant que possible. Ainsi, l'on prolongera les fonctions usuelles : exponentielle d'une matrice, trigonométrie sur les nombres p-adiques... fourniront autant de sujets de recherches. Voilà ce qui fonde l'« irrationnel de recours ». Les mathématiciens assurent « la solidité de leurs objets de calcul » en les assortissant d'« obligations » et d'« interdits » qui réglementent les opérations qui leur sont associées ; certains physiciens s'affranchissent de ces contraintes ou étendent les transformations à des objets sur lesquels les opérations n'ont qu'une analogie formelle pour le moins douteuse avec les opérations initiales. L'irrationnel avait été inconscient, puis il était inavouable, il devient maintenant délibéré, justifié par une rationalité épistémologique qui autorise à croire qu'il sera de toutes façons intégré dans une rationalité future. D'où les entreprises de Heaviside et de Dirac, qui seront en fin de compte effectivement intégrées dans la rationalité. Le cas de la mécanique quantique est très différent car il consiste un construire un système étranger à celui qui existe, contredisant les principes épistémologiques insidieusement établis d'une certaine unicité du système et de la consistance[48] de ses parties, notamment par réductionnisme, et « l'idéal scientifique qu'on aboutisse en fin de compte à des énoncés ayant un sens dans l'expérience actuelle commune » 204. Mais aussi, il va à l'encontre de l'irrationnel mécaniste, qui avait fini par s'imposer comme rationnel transcendant, à faire croire à la causalité, à l'espace absolu... Et surtout, « il est perçu premièrement, comme une infraction au principe d'identité : un objet quantique est à la fois onde et corpuscule » 130. Le dépassement de cette irrationalité remettra en question « l'académisme » 24 de la physique de Lagrange, qui fit croire un moment que les derniers secrets de l'univers avaient été découverts. La rationalité épistémique elle-même est alors relativisée, puisqu'il y a tout au plus une illusion d'ontologie, les « entités stables et permanentes » n'étant que des artefacts statistiques d'un certain « niveau de réalité » émergeant du niveau inférieur, le « substrat », selon des lois morphologiques qui n'en dépendent toutefois pas nécessairement.

Le « recours à l'irrationnel en logique » 139 franchit encore une étape supplémentaire en relativisant la technique du raisonnement en général. Cependant, le cas de la paraconsistance est peut-être condamné à l'irrationalité perpétuelle car « la présence possible de contradictions demeure assurément une marque irrécusable d'irrationnel » 175 dans le système actuel évidemment, mais également, peut-on penser, dans tout système rationnel. Certes, le méta-irrationnel n'est pas forcément irrationnel, et il y a une rationalité technique indéniable, au sens où un tel système a des règles parfaitement définies et qu'en tant que système formel il ne pose aucun problème, mais celui qui accepte rationnellement la vraie contradiction ébranle les fondements mêmes de la rationalité car admettre qu'une chose tout à la fois a et n'a pas une propriété, c'est accepter de s'en remettre à une impression confuse, sans chercher à établir la vérité. En renonçant à la non-contradiction, on se prive ipso facto de tout moyen de vérification et l'on rend inopérante la réfutation poppérienne. Ainsi, un tel système peut tout au plus conférer à un certain irrationnel une rationalité technique, et relève alors non de la logique mais de la psychologie ou de l'ethnologie, car la logique ne consiste pas à décrire les raisonnements parfois aberrants qui sont observés de même que les mathématiques ne sont pas conditionnées par les erreurs des écoliers. Si Granger estime que « la paraconsistance paraît bien être un recours provisoire à l'irrationnel », on peut avoir des doutes ou des espoirs quant à la durée de ce « provisoire »... Enfin, affirmer comme le fait Wittgenstein que « les lois de la logique sont arbitraires » 178 est soit absurde soit tautologique[49] car à un niveau aussi fondamental, l'arbitraire du sens des mots est prépondérant. Il semble qu'on ait atteint ici les limites du paradigme explorare quia absurdum.

Le recours à l'irrationnel dans l'art est autrement cohérent car l'une des fonctions de l'art est justement de créer des impressions. Or, une impression n'est pas réductible à une description rationnelle : Kant avait déjà noté qu'il est impossible d'expliquer à un aveugle ce qu'est la couleur rouge. Ainsi, l'irrationnel joue un rôle fondamental car il permet d'accéder au donné des lois de l'esthétique[50], quitte à ce qu'elles soient ensuite formalisées en un système rationnel de règles, qui à la limite peut devenir exhaustif et permettre la génération des œuvres par des moyens purement rationnels, « séparant l'art et la vie » 190. Cependant, comme tout nos systèmes sont faillibles, les principes rationnels risquent de conduire au mieux à un art qui n'est pas optimal pour les impressions qu'il est censé créer, comme ils sont incomplets, un tel art risque d'être stéréotypé, et comme ils sont forcément trop grossiers, sans finesse ni audace, car les règles sont comme l'approximation d'une fonction par une fonction en escalier : trop grossière, celle-ci gomme les détails et tronque les pics. Tout naturellement, les surréalistes identifieront le rationnel au conscient qui censure, et l'irrationnel à l'inconscient qui révèle « l'ordre de la nature » 187. La défiance de l'artiste à l'égard du rationnel est donc tout à fait rationalisable, quoique cela n'entraîne nullement qu'un art irrationnel, qui érige une subjectivité essentialiste, soit plus efficient que l'art auquel il s'oppose qui conçoit une subjectivité plutôt fonctionnaliste tout en reconnaissant le primat de l'impression. Par contre, le fait que ces artistes « acceptent le conflit [avec le monde extérieur] » est sans doute « profondément assumé » 196 mais on peut ne pas suivre Granger lorsqu'il y voit une irrationalité : paradoxalement, ce qui oppose au premier chef le dadaïsme à l'art plus traditionnel, c'est la systématisation, donc d'une certaine manière la rationalisation (épistémologique), du recours à l'irrationnel, qui était auparavant implicite...

Ainsi, si elle s'oppose au rationnel établi, « la violation de règles précédemment assumées, ou en tout cas appliquées, auxquelles satisfaisait la structure des objets symboliques abstraits ou concrets, produits par le savant ou par l'artiste »182 peut fort bien être conduite rationnellement sur le plan épistémologique. L'innovation scientifique ne nécessite plus de faire acte d'irrationnel puisqu'elle est encadrée par des principes métathéoriques : par exemple, l'expérience doit valider le modèle qui doit sinon être abandonné, l'architecture est remise en cause jusqu'à un niveau plus ou moins élevé, et parfois, le principe générateur ultime, posé par l'intuition apriorique, doit être abandonné (mécanique quantique). Mieux, on cherche activement à prendre le modèle en défaut, à en tirer les conséquences les plus extrêmes. L'irrationnel est de nos jours confiné à la création elle-même, à l'éclair d'intelligence qui va transformer la suite de nombres en une formule descriptive. Au contraire de cet irrationnel comme recours qui est rationnel au deuxième degré, l'irrationnel de renoncement envisage d'emblée ses constructions comme seulement partiellement rationnelles, à quelque niveau que ce soit : à l'exploration imprudente font suite le survol à haute altitude et la spéculation pure. Ce présupposé irrationnel invoqué par les artistes qu'une partie de la nature est inaccessible à la raison trouve dans la science une certaine rationalisation. La formalisation projette la distinction entre opération et objet, fonction et valeur, en une opposition entre structure et données. Si les données que sont les constantes universelles peuvent et doivent être mesurées empiriquement, la structure, faute de méthode rationnelle pour l'imaginer, relève en partie de la spéculation, et peut-être d'un choix ontologique. L'épistémologie du XXème siècle admet tout à fait ce rôle fondateur de l'irrationalité, pourvu qu'il s'agisse « d'imagination mathématiquement structurée » 223, mais seules la réfutabilité et la mise à l'épreuve peuvent conférer la scientificité. Cependant, même en ignorant certaines données, Einstein parvient à des résultats étonnants ; la mécanique quantique connaît un succès encore plus déroutant. Plus récemment, le « modèle standard » de la physique des particules, pourtant assez spéculatif, prévoit remarquablement quoique imparfaitement les phénomènes. Le principe s'instaure peut-être, à l'état latent car épistémologiquement arriéré, que les moyens formels et conceptuels très importants dont on dispose désormais, ainsi que les connaissances acquises considérables, font que la rationalité impose des conditions tellement draconiennes aux modèles qu'à défaut d'en montrer la validité, la rationalité pourrait en montrer la nécessité, tous les autres ayant été éliminés. En tous cas, voilà un cas manifeste de « renoncement à l'idéal rationnel de vérification » 224. Cependant, « la science considère fondamentalement des faits # et par conséquent des objets # virtuels ». On a donc « une détermination abstraite complète dans le référentiel adopté mais une détermination essentiellement incomplète comme faits empiriquement observables ou observés » foo : 385. En vertu de ce principe métathéorique, il est donc tout aussi irrationnel de décréter a priori que ces éventuels phénomènes sont inexistants.

La cosmologie, toutefois, n'est plus à la portée du premier fantaisiste venu. Depuis Kant et ses spéculations sur les mondes, le fossé s'est creusé entre une cosmologie scientifique, et des élucubrations pseudoscientifiques quasi religieuses qui ont dû trouver refuge en des endroits moins épris de rationalité. En revanche, la conscience reste encore un mystère, ou du moins, une mouvance n'accepte pas qu'une chose aussi grandiose soit réductible à des phénomènes physiques rationnels. La mécanique quantique mal acceptée car rationalisée seulement sur le plan technique et ne fournissant pas d'image intuitive facile est elle aussi un refuge de l'irrationnel à velléité scientifique. Ici, le rationnel n'est plus qu'un alibi ou un vernis : on exhibe une équation, « on maintient tactiquement l'usage du raisonnement scientifique » 239, et l'on déduit par des associations d'idées superficielles, par exemple, une influence de la conscience sur la matière : « le désir d'atteindre par la voie de science au merveilleux et à l'étrange est apparemment si fort qu'il conduit [ces gens à spéculer sur] des phénomènes paranormaux » 238. On peut parler ici tout au plus d'un rationnel social : le problème n'est plus du tout d'élaborer une théorie vraie, mais d'acquérir une certaine reconnaissance sociale comme penseur scientifique.

La recherche scientifique a fini par pouvoir être rationnelle grâce à des principes métathéoriques qui codifient ce qui nécessitait jadis un recours à l'irrationnel, la rendant ainsi accessible au plus grand nombre, la faisant passer de l'artisanat à l'industrie. Cependant, le manque croissant d'intelligibilité des théories en général, attribué généralement à une absence réelle d'intelligibilité, peut susciter des questions quant à un éventuel appauvrissement idéel dû à une standardisation trop systématique. L'absence d'irrationnel dans les œuvres sérieuses des sciences exactes contemporaines serait en cela un signe inquiétant. Or, justement, certains ex-scientifiques « transcendent délibérément les limites d'une théorie scientifique » 258, rejetant même la rationalité technique que l'on trouvait encore dans la cosmologie, et au point de « perdre les aspects qui la rattacheraient effectivement, opératoirement, à une représentation du monde » 267. Les motivations semblent variées : chez Eddington, l'abandon à l'irrationnel se manifeste par « une poursuite hyperbolique mal contrôlée d'un idéal rationaliste » 255, chez Bohm par une « indistinction de la représentation abstraite et de l'interprétation signifiante » 261, et chez Capra carrément par une « fusion entre des connaissances scientifiques et des thèses philosophiques orientales » 264. Par ailleurs, la philosophie est encore largement une activité spéculative, et Granger cite la tentative de Whitehead de construire un « système philosophique qui propose une interprétation cohérente de la totalité de l'expérience » 262. Malgré tout, le point commun de ces discours certes non scientifiques est la volonté de prendre en compte une certaine conception du monde issue d'idées a priori et de présupposés profondément enracinés dans l'esprit de leurs auteurs. Ce n'est alors pas tant un irrationnel d'abandon que la tentative de construire du rationnel transcendant, non plus scientifiquement correct, mais psychologiquement, pour certains affectivement, acceptable.

conclusion

Une conclusion ne saurait résumer sans des pertes importantes un texte d'une telle richesse. Loin de prétendre donner une définition de l'irrationnel en général, Granger s'est intéressé au franchissement de la frontière entre le rationnel et l'irrationnel dans des cas concrets. Il s'agit le plus souvent d'un système que l'individu a commencé par admettre, quoique parfois à titre seulement provisoire, avant de le remettre en question de façon de plus en plus explicite, pour finalement l'abandonner complètement. Cela a permis de constater le rôle fondateur de l'irrationnel dans le renouvellement des conceptions scientifiques. Mais le concept a pris une importance telle qu'il tend à phagocyter ceux d'implicite, de doute, d'inconscience, d'informel, de non dogmatisme, voire d'intuition et d'intelligence ; évidemment, une discussion moins succincte aurait permis de préciser les choses...

On a entrevu diverses distinctions, dont les implications auraient nécessité des développements considérables ; en particulier, distinguer « technique » et « épistémique » revient d'une certaine manière à adopter une position réaliste, les idées prenant une existence indépendante de leur écriture. On s'est contenté ici de reprendre les exemples, considérant avec Granger que la frontière est diffuse, qu'on a plus une polarité qu'une dichotomie, et de s'en tenir à une vague idée intuitive au demeurant amplement suffisante. Les exemples de Granger illustrent ainsi les types d'irrationnel dans chacun des champs dans différentes époques mais, autant il semblait difficile de trouver des exemples purs d'irrationnel « épistémique, technique, axiologique », autant les types semblent correspondre étrangement aux époques : jadis l'« obstacle », naguère le « recours », et maintenant le « renoncement ».

L'irrationnel est un métaconcept qui porte sur la connaissance elle-même, et c'est un métaconcept rationnel : on a vu comment s'architecturaient divers niveaux de connaissance, chacun, conscient ou inconscient, explicite ou implicite, formalisé ou informel... Ainsi, ce qui fait que tout changement de théorie ne passe plus forcément par l'irrationnel est justement le fait que ce changement soit rationnel au niveau métathéorique. Ainsi, le plan de Granger qui découpe trois parties de trois chapitres, comprenant souvent trois grands paragraphes est en soi rationnel, mais le fait d'observer une telle irrégularité (qui ne s'impose nullement) semble irrationnel...

Ce livre est en même temps une réflexion qui dépasse de très loin la compilation d'exemples qu'il fournit, dont on a tenté très humblement de rendre compte ici. En somme, on pourrait retenir que l'irrationnel consiste à sortir du programme, quel que soit son niveau, notamment lorsque celui-ci n'est plus pertinent. Ainsi, à la question Où est l'ascenseur ? on répond en indiquant le chemin à suivre pour l'atteindre, sauf s'il est en panne ; on indique alors le chemin de l'escalier, sauf si la personne qui se présente est le réparateur d'ascenseurs[51]... Certes, on peut concevoir un programme qui inclue l'arbre de décision, mais on ne pourra jamais être certain que le programme pourra traiter tous les cas : « c'est parce que nous sommes faillibles que notre société doit être ouverte (au sens de Popper) »[52].

 


[1]       Pour les références à L'irrationnel, on indiquera seulement le numéro de la page en indice condensé ( 999) afin d'alléger. Pour les autres, on mentionnera le titre au moyen d'une abréviation, suivie de la page dans l'édition signalée.

[2]       Les guillemets en petit chevrons « G » sont réservés aux citations des ouvrages de Granger. Les guillemets en gros chevrons « X » encadreront les citations d'autres auteurs, le plus souvent trouvées chez Granger, sans qu'elles soient nécessairement encadrées comme elles le devraient en toute rigueur par des guillemets « ». Les guillemets d'apostrophes ‘A’ serviront à indiquer les mots spécialisés lors de leur première occurrence. Les éventuels italiques ou guillemets au sein d'une citation seront toujours ceux de l'auteur cité ; si nécessaire, on utilisera le soulignement pointillé. Pour les intégrer dans le cours du texte, certaines citations ont été modifiées ; cela est indiqué comme habituellement par [...]. Cependant, les modifications purement syntaxiques, sans aucune incidence sur le sens n'ont pas été indiquées afin de ne pas alourdir.

[3]       Pour Platon, l'arithmétique concerne le nombre comme « opérateur » de duplication 27 ; il envisage d'autre part une ‘logistique’, espèce de science du nombre en tant qu'objet. Ces deux concepts, autrement dit, multiplicande et multiplicateur, ne sont pas mélangés. Aristote y voit deux ‘dyades’, et considère que la première opère sur la seconde, que, plein d'humour (?), il appelle « principe femelle »...

[4]       Il s'agit de définir x tel que le rapport a-x / b-x corresponde à un rapport défini en termes de a, b et x ; avec a/a, a/b et a/x, on obtient respectivement les moyennes arithmétique, harmonique et géométrique 29. Cette base combinatoire rappelle celle des syllogismes.

[5]       L'octave est décomposée en produit d'intervalles ‘épimores’, réputés consonants, de la forme n+1 / n = 1 + 1 / n, sommes d'un entier et d'un quantième 28. Ainsi 4/3 = 28/27 ´ 8/7 ´ 9/8.

[6]       Il s'agit bien de l'algorithme de calcul du plus grand commun diviseur. Deux rapports sont égaux lorsque les suite des restes sont identiques. Lorsqu'il ne termine pas, dans le cas de rapports irrationnels, le critère reste valable : les deux séquences obtenues sont indéfiniment identiques.

[7]       On approche ces rapports au moyen de suites obtenues par diverses méthodes récursives basées sur des raisonnements géométriques : encadrement des médiétés, nombres de Théon c'est-à-dire en gros des fractions continues, et plus tard, « en un temps où le style calculatoire domine déjà » (Héron d'Alexandrie, vers +150), méthode de Newton dans le cas particulier de la racine carrée...

[8]       Ils restent interprétés dans leur cadre spécifique : « l'addition n'est pas définie et n'a pas de sens ici » 46, et il n'y a pas de multiplication en tant que telle, opérations qui en feraient une « nouvelle classe de nombres ». Tout au plus Euclide entreprend-il une classification des « irrationnelles » (‘alogoi’) et établit-il quelques règles de calcul.

[9]       Dit isomorphisme de Curry : à x on associe la fonction qui ajoute (ou multiplie...) x.

[10]     Mais ces règles conduisent à des paradoxes ; par exemple : Ö-1 ´ Ö-1 = Ö (-1 ´ -1) = Ö1 = 1, semblables à ceux des logarithmes 61. D'autre part, le calcul avec ces racines imaginaires n'a rien de simple : si l'on tente la résolution directe, on est conduit à calculer le cosinus du tiers de l'angle dont la tangente vaut Ö-d / a, ce qui fait retomber encore sur une équation du troisième degré... En toute rigueur, cette formule peut être transformée en une autre où il n'y a plus de tels problèmes, mais cela nécessite des calculs d'une complexité hors de portée à l'époque, faisant intervenir de la trigonométrie de... nombres complexes (dont imaginaires).

[11]     La définition de l'exponentielle complexe ne peut être déduite des seules considérations géométriques car, à ce niveau, le choix de l'unité de mesure de l'angle reste libre : l'homomorphisme est défini à deux facteurs près, un pour la composante réelle (fixé par exp(1)=e), un pour la composante imaginaire (fixé par exp(ip)=‑1). Ce sont les propriétés analytiques, par exemple le développement en série de exp, qui imposent le choix du radian comme unité une fois que la base e est choisie.

[12]     comme objet d'un quelconque ensemble (totalement ?) ordonné. Pour les nombres complexes, il considère l'ordre lexicographique, bien qu'il soit peu compatible avec les opérations algébriques. En fait, même sans faire appel au théorème de Zorn (tout ensemble est bien ordonné), il est bien rare qu'on ne puisse définir un ordre arbitraire sur un ensemble : les mots du dictionnaire sont-ils des nombres ? En fait, on considère généralement qu'il n'existe pas d'ordre total naturel pour les complexes.

[13]     Ce qui permet de définir les opérations sur les nombres complexes de façon exclusivement arithmétique, de généraliser le mécanisme autant que possible, c'est-à-dire pas beaucoup...

[14]     En particulier, certains mathématiciens distinguent des cas afin d'éviter les coefficients négatifs.

[15]     Doit-elle inclure les vecteurs de l'espace ? les quaternions ? les torseurs ? les tenseurs ? ... Cela pose le problème que ces ensembles ne sont plus emboîtés les uns dans les autres, que les opérations sont souvent incompatibles.

[16]     rotation par rapport à l'origine composée avec une homothétie (agrandissement / réduction).

[17]     Il s'agit essentiellement des composants d'un objet les uns par rapport aux autres ; dans l'absolu, cela suppose que la réalité censément reproduite est connue, donc qu'on dispose d'une norme très précise.

[18]     Le cas classique est celui du programme de tracé de courbe : il ne peut prendre comme argument une fonction... On aurait le même problème avec new qui retourne un nouvel objet s'il n'était considéré comme opérateur transcendant, donc non sujet aux contraintes du typage. Un cas générique est celui des fonctions sur les listes d'objets : il faut toutes les dupliquer pour chaque type d'objet que l'on manipulera dans les listes, même si ces objets sont référentiellement identiques.

[19]     La juxtaposition de deux objets dénote autant la multiplication que l'application d'une fonction ou la composition de deux fonctions, et la mise en exposant autant la puissance de la multiplication que l'itération de la différentiation. D'où 107 une correspondance formelle qui permet de définir l'exponentielle de l'opérateur de différentiation. Il ne s'agit pas seulement d'une opération "textuelle" car le développement en série de Taylor de exp est infini, et l'on sait qu'on ne peut pas définir une opération infinie à partir de la seule opération finie et faire ainsi l'économie de la norme de convergence, ou au moins d'une topologie.

[20]     La transformée de Laplace d'une fonction f est une fonction Lf dont on note 111 le paramètre p ; cependant, Heaviside considère d'un côté une expression en t, de l'autre en p, et la correspondance entre objets fonctionnels n'apparaît pas, si bien que p n'a aucun statut précis : opérateur pour la dérivation, simple nombre lorsque Lf est constante.

[21]     Il n'est pas non plus possible de considérer l'un des deux aspects selon le type d'onde électromagnétique. En effet, si les lois empiriquement établies valables sur des domaines différents montrent un manque d'unité globale, les domaine se recouvrent partiellement, si bien que ces lois suggèrent aussi l'unité (et la continuité) locale des ondes électromagnétiques.

        Par ailleurs, l'unité du phénomène n'est pas évidente. La diffraction et les interférences sont une propriété commune à toutes les ondes électromagnétiques, mais qu'elles partagent avec les ondes en général, en particulier, sonores. En fait, si le spectre en tant que tel est continu, l'absorption par l'air (notamment) délimite des zones discontinues tout à fait réelles et objectives, qui font que la mise en évidence expérimentale de cette continuité n'avait rien de facile. La lumière (visible) elle-même est a priori non homogène, puisque les maxima (et les points d'égalité) de sensibilité des trois types de capteurs de l'œil humain définit des intervalles sur le spectre de l'arc-en-ciel, d'où peut-être la théorie des couleurs de Goethe...

[22]     Et donc, « il n'y aurait pas, selon Bohr, de concepts proprement quantiques » 119.

[23]     35 pages alors que la moyenne est de 25 environ.

[24]     Łukasiewicz précise les trois principes de non contradiction, de la bivalence, et du tiers-exclu. Le principe de bivalence stipule qu'il n'y a que deux valeurs logiques possibles, vrai ou faux, et donc, en particulier, pas de valeurs intermédiaires. Cependant, une proposition peut encore ne pas avoir de valeur logique, par exemple si elle est indémontrable. Le tiers-exclu est plus restrictif : toute proposition est soit vraie soit fausse, et l'indécidabilité éventuelle doit rester extérieure au système. D'un point de vue pratique, le tiers-exclu se résume dans le raisonnement par l'absurde. En outre, il « n'a de sens que dans un système ». Cette relativisation concerne en fait non seulement les axiomes de déduction disponibles, qui peuvent faire qu'un énoncé vrai dans un système plus complet n'est pas dérivable dans celui considéré, mais aussi ceux de la théorie elle-même (cf. Thèse de Duhem - Quine).

[25]     or, « la logique de Newton Da Costa en rejetant la non-contradiction conserve fondamentalement la bivalence » 147.

[26]     « Le point de vue intuitionniste est introduit par Brouwer pour contraindre le mathématicien à ne raisonner que sur des objets de pensée effectivement présentés et directement manipulables, excluant par exemple des objets dont on peut seulement dire qu'il serait contradictoire qu'ils n'existassent pas » 157.

[27]      « et non pas du foncteur de négation comme la logique intuitionniste » 161 et donc limite la remise en cause à l'implication.

[28]     « Wittgenstein considère les contradictions virtuelles comme inexistantes car une proposition mathématique n'est rien d'autre pour lui que sa propre démonstration ». Cependant, « si l'on rencontre effectivement une contradiction actuelle, ce ne serait pas une proposition authentique et il suffit de l'écarter » 177.

[29]     42 pages alors que le précédent déjà long en compte 35 et que la longueur des autres est comprise entre 18 et 30 pages.

[30]     Dans ses Grundlagen der Geometrie (1899), Hilbert étudie systématiquement toutes les combinaisons d'axiomes, et est amené à les regrouper par familles, en fonction de la géométrie qu'ils produisent.

[31]     avec des schémas à la Gentzen. L'isomorphisme de Curry - Howard permettra même une interprétation très naturelle en associant les « procédés » 158 aux fonctions d'un système de calcul typé.

[32]     La logique intuitionniste est parvenue à retrouver, au delà de toute espérance étant donné l'affaiblissement des moyens, la plupart des résultats importants de l'analyse, sauf bien sûr ceux qui dépendent de l'axiome du choix ou, à l'opposé, l'universalité de l'intégrale de Lebesgue, résultats sans conséquences pratiques. Parfois, elle a même fourni des preuves plus intéressantes, plus directes, qui montraient mieux les structures en cause. L'analyse non standard, a priori plus puissante, ne peut se prévaloir d'aucun résultat inédit (?) mais fournit des démonstrations beaucoup plus intuitives et plus concises.

[33]     Si l'on observe encore chez les surréalistes un certain « rationalisme technique » le refus est chez les dadaïstes massif.

[34]     « La coordination de plusieurs éléments suppose toujours le concept de temps, et de ce fait « n'appartient pas au concept intellectuel du tout mais seulement aux conditions de l'intuition sensible » » 207.

[35]     En mécanique quantique, il y a « réduction du paquet d'ondes » lorsqu'une « intervention extérieure a lieu en vue d'effectuer une mesure » ; « l'état de la particule est [alors] décrit non plus par un paquet d'ondes, mais par l'onde propre unique correspondant [à la valeur mesurée] » 278. or, l'appareil de mesure a lui-même une fonction d'onde, qui en se combinant avec celle de l'objet ne peut donner une valeur
unique. D'où le paradoxe, et l'explication aberrante de Wigner. C'est aussi le fameux paradoxe du « chat de Schrödinger ».   
« La valeur de la mesure n'est prévisible que probabilitairement, mais encore l'état postérieur à la mesure est qualitativement altéré ». 

[36]     « La science vise à produire, de l'expérience, une représentation abstraite, la transposant en concepts et en faits virtuels manipulables dans des systèmes symboliques, et rend possible des applications techniques. La philosophie consiste à interpréter le sens de l'expérience des sujets dans un monde » 245.

[37]     Ces résultats montrent l'évolution possible d'un système loin de tout état stable vers un équilibre improbable plus structuré que le point de départ ; cela contribue à expliquer la vie.

[38]     Dans cette théorie purement axiomatique développée vers 1950 par les mathématiciens Mac Lane et Eilenberg, les objets sont des ensembles et les opérations, qu'on appelle « morphismes », sont des fonctions d'une certaine sorte entre ces ensembles, vérifiant entre elles certaines propriétés. Ainsi, dans la catégorie des groupes, les objets sont les groupes et les flèches les homomorphismes de groupe. Cette théorie peut donc se résumer ainsi : dans un système il y a deux sortes d'éléments, des objets, et des morphismes liant les premiers ; ces morphismes peuvent se combiner : si A, B, C sont des objets, un morphisme A"B (de A vers B) est composé (mis bout à bout) avec un morphisme B"C pour donner un morphisme A"C. Tout objet A a un morphisme neutre A"A. Par exemple, les morphismes peuvent être les fonctions entre différents ensembles, qui se composent et dont le morphisme neutre est l'identité sur l'ensemble considéré. Fatalement, la théorie des catégories fournit un cadre beaucoup trop vaste pour des objets d'un type particulier : les morphismes ne sont même en fait pas forcément des fonctions, et les objets sont des ensembles et non des éléments, si bien qu'elle ne fournit pas de modèle intuitif et rapidement utilisable.

[39]     Théorie des ensembles, chapitre IV (Hermann). Cf. aussi la note historique « Objets, modèles, structures » (en IV.49. ou p35 dans les éléments d'histoire des mathématiques de Bourbaki (Hermann).

[40]     Ce qui a causé beaucoup de tracas à certains philosophes : comment un être fini peut manipuler des choses infinies...

[41]     Granger définit aussi ce terme ; on peut se contenter ici de la signification commune.

[42]     Le Robert historique mentionne entre autres : rationnel : doué de raison (1120), qui emploie le raisonnement (1546), (médecin) non empirique travaillant par le raisonnement (1560, Ambroise Paré), qui relève de la raison (1691), qui est fondé sur une méthode scientifique (1835), conforme à la logique, au bon sens (1836)... irrationnel : dépourvu de raison, où la raison n'intervient pas (1370) antonyme de rationnel (1549), non conforme au bon sens, à la logique (1836). Il est intéressant de noter qu'irrationnel est dérivé directement du latin et ne devient vraiment l'antonyme de rationnel que tardivement.

[43]     La place manque, ici, pour expliquer en quoi le résultat n'est pas forcément meilleur, loin de là...

[44]     Afin de simplifier (considérablement) la discussion, et ne pas déborder le cadre fixé, on supposera que les deux sont en accord. L'irrationnel est fatalement une notion relative, par rapport à l'individu, et par rapport à son époque.

[45]     L'irrationnel d'irréflexion n'intervient pas dans les exemples que donne Granger, mais il serait exagérément optimiste de le croire absent de la science...

[46]     Ce n'est pas exactement cela, mais peu importe ici.

[47]     L'ensemble des nombres complexes contient les n racines d'un polynôme de degré n, donc il ne sert à rien de chercher un ensemble plus vaste. D'ailleurs, il n'y en a pas, à moins de perdre des propriétés (Hamilton).

[48]     Au sens français et culinaire du terme...

[49]     Certes, les lois de ce que nous appelons arbitrairement logique sont arbitraires... Comment définir la logique en général autrement que par la cohérence, donc la non-contradiction ?

[50]     Il semble peu vraisemblable qu'elles puissent être déduites a priori.

[51]     Exemple souvent donné en pragmatique (linguistique).

[52]     Jean Largeault, cité par Magnard « Journée Jean Largeault », 7 mai 1999.